УО «Полоцкий государственный университет»

Методическое пособие

к контрольной работе по курсу

«Численные методы в программном обеспечении»

для специальности «Вычислительные системы и сети» (заочное отделение)

2007

Содержание

Содержание 2

Пример задания для контрольной работы 3

1. Формы представления чисел 4

2. Погрешности 4

3. Интерполяция 6

4. Аппроксимация и решение систем линейных уравнений 9

5. Численное дифференцирование 14

6. Численное интегрирование 16

7. Решение нелинейных уравнений 18

Пример задания для контрольной работы Вариант 30

1. Представьте числа 13,5 и 0,005*10³ в нормализованной форме записи.

2. Оцените относительную погрешность величины x:

, а37,2, b0.5, с4.

3. Построить график интерполяционного многочлена Лагранжа, если заданы точки:

х	y
0	0
2	-4.4
4	4.6
6	-1.7
8	-10

4. Построить график аппроксимирующей функции, заданной таблично (см.выше), используя метод наименьших квадратов (систему линейных уравнений решить методом Гаусса). В качестве формулы для аппроксимации примем:

y  (x) = a₀*₀ (x)+ a₁*₁ (x)+ a₂*₂ (x) = a₀+a₁*sin(x)+a₂*x

5. Найти первую производную функции, заданной таблично (см.выше) в точке х=4 методом центральных разностей. Оценить погрешность.

6. Найти интеграл функции, полученной в п.3, на отрезке [0,8] методом трапеций. Оценить погрешность.

7. Методом деления отрезка пополам найти хотя бы один корень уравнения с точностью 10^-3:

2*sin(2*x)+x=10

1. Формы представления чисел

Краткая теория:

В машинных вычислениях участвуют два типа чисел: целые числа и числа с плавающей точкой. Однако для хранения чисел в компьютерах часто используются только 4 байта памяти. Из этого следует, что множество чисел, которые могут храниться в памяти компьютера небесконечно, а именно 2³¹(для 32-х битной арифметики).

Вещественные числа можно записать следующим образом:

D = ± m * 10 ⁿ, где m и n – мантисса и ее порядок соответственно.

Нормализованной формой представления числа называем число, в котором мантисса представлена следующим образом:

m =0.d₁ d₂ …d_k , где d₁ ≠0.

Пример:

число -125,75 можно представить следующим образом: -12,575 * 10¹; -12575 * 10^-2;

-0,12575 * 10³. Последняя запись и является ее нормализованной формой, а исходная, т.е. -125,75 – форма записи с фиксированной точкой.

Решение задачи:

Представьте числа 13,5 и 0,005*10³ в нормализованной форме записи.

Решение:

а) Задано 13,5:

13,5 – форма записи с фиксированной точкой

0,135*10² – нормализованная форма записи

б) Задано 0,005*10 ³:

5 – форма записи с фиксированной точкой

0,5*10^-1 – нормализованная форма записи

2. Погрешности

Краткая теория:

Мерой точности служит погрешность. Выделяют два вида погрешности: абсолютную (Δx) и относительную (δx):

Δx=x-a, δx=Δx/|a|,

где x – истинное значение числа, a – его приближенное значение.

Истинное значение числа часто неизвестно. Имеется только приближенное значение числа и нужно найти его предельную погрешность Δa, которая будет являться верхней оценкой модуля абсолютной погрешности числа x и принимается за абсолютную погрешность числа a .

‌‌‌Δх ≤ Δа, а - Δа ≤ х ≤ а + Δа.

Предельное значение относительной погрешности будет определяться следующим образом:

δа=Δа/|a|.

Для приближенного числа, которое получено в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда числа. Для приближенного числа, которое получено в результате усечения при превышении разрядной сетки, абсолютная погрешность принимается равной единице последнего разряда числа.

При выполнении операций над приближенными числами оценка погрешностей осуществляется следующим образом:

Δ(a ± b)= Δa + Δb,

Δ(ab)= a Δb + Δab,

Δ(a/b)=a/b(Δa/|a|+Δb/|b|),

δ(ab)= δa+δb,

δ(a/b)= δa+δb,

δ(a^k)=kδa.

.

.

Пример:

1. Найти относительную погрешность функции:

,

.

2. Найти относительную погрешности разности двух чисел: a=2520, b=2518.

Δa=Δb=0,5, тогда δ(a-b)=(0,5+0,5)/(2520-2518)=1/2=0,5 (50%).

Решение задачи:

Оцените относительную погрешность величины x:

, а37,2, b0.5, с4.

Решение:

∆a=0.05, ∆b=0.05, ∆c=0.5