2.3 Дослідження випадкових процесів

2.3.1 Лінійні операції над випадковими функціями

Під випадковим (стохастичним) процесом розуміють таку випадкову функцію часу , значення якої в кожен момент часу випадкові. Конкретний вигляд випадкового процесу, зареєстрований у деякому досліді, називають реалізацією випадкового процесу. Дані, які характеризують всю множину можливих реалізацій називаються ансамблем.

Основними ознаками, за якими класифікують випадкові процеси є: простір станів, часовий параметр та статичні залежності між випадковими величинами в різні моменти часу .

Простором станів називають множину можливих значень випадкової величини . Випадковий процес у якому множини станів складають континуум, а зміна станів можлива в будь-які моменти часу, називають неперервним випадковим процесом. Якщо зміна станів допускається лише в кінцевому чи поточному числі моментів часу, то говорять про неперервну випадкову величину.

В відповідності до визначення випадковий процес може бути описаний системою звичайно залежних випадкових величин , взятих в різні моменти часу . При необмеженому збільшенні числа така система еквівалентна випадковому процесу, що розглядається.

В більшості випадків для характеристики випадкових процесів використовують моментні функції перших двох порядків: математичне сподівання, дисперсія, а також кореляційну функцію

, (2.44)

де - одномірна щільність імовірності або одновимірна функція розподілення випадкового процесу. Фізико-математичне сподівання виражає значення сукупності вибірок випадкового процесу у визначений момент часу .

Дисперсія – це математичне сподівання квадрата відхилення величини від математичного сподівання в визначений момент часу .

Дисперсія виражається формулою

. (2.45)

Вона виражає розкид значення випадкової величини навколо математичного сподівання. Корінь квадратний з дисперсії прийнято називати середнім квадратичним відхиленням випадкової величини

. (2.46)

Фізично початковий момент другого порядку є повна середня потужність випадкової величини.

Випадкові процеси можуть мати однакові математичні сподівання й дисперсію, але різко відрізняються за швидкістю зміни своїх значень у часі рис 2.18.

Рисунок 2.18 – Математичне сподівання для різних процесів

Тому для оцінювання ступеня статичної залежності миттєвих значень процесу в будь-які моменти часу та використовується випадкова функція аргументів , яка називається автокореляційною або просто кореляційною функцією.

При конкретних аргументах та вона дорівнює кореляційному моменту значень процесу та

. (2.47)

Двовимірним законом розподілу випадкової функції називається закон розподілу системи двох випадкових розмірів та , що є значеннями випадкової функції для різних значень аргументів та .

Математичним сподіванням випадкової функції називається невипадкова функція , що при кожному даному значенні аргументу дорівнює математичному сподіванню значення випадкової функції при тому ж значенні аргументу .

Кореляційною функцією випадкової функції називається невипадкова функція двох аргументів , що при кожній парі значень та дорівнює кореляційному моменту відповідних значень випадкової функції

, (2.48)

де - центрована випадкова функція.

При кореляційна функція перетворюється в дисперсію випадкової функції , тобто

. (2.49)

Нормованою кореляційною функцією випадкової функції називається функція

. (2.50)

Взаємною кореляційною функцією двох випадкових функцій та називається функція двох аргументів , яка при кожній довільно обраній парі їхніх значень дорівнює кореляційному моменту відповідних значень та цих випадкових функцій

. (2.51)

Нормованою взаємною кореляційною функцією двох випадкових функцій та називається функція

. (2.52)

Випадкові функції та називаються некаліброваними, якщо

. (2.53)

Канонічним розкладанням випадкової функції називається представлення її у вигляді

, (2.54)

де , - центровані некорельовані випадкові розміри з дисперсіями ; - невипадкові функції.