2 Лабораторний практикум

2.1 Спектральні характеристики сигналу

2.1.1 Періодичні сигнали

Відомо, що будь-яка періодична функція, яка задовольняє умови Діріхле, може бути представлена у вигляді нескінченної у загальному випадку суми гармонічних складових – рядом Фур’є. Умова Діріхле полягає у такому: функція x(t) повинна бути обмеженою, кусково-неперервною та мати протягом періоду кінцеве число екстремумів.

Відомо дві форми розкладання в ряд Фур’є: тригонометрична й комплексна. Тригонометрична форма розкладання виражається у вигляді

. (2.1)

де - постійна складова функції x(t); – k-та гармонічна складова; – амплітуда, частота та початкова фаза k-та гармонічна складова; – частота основної (першої) гармоніки; T –період зміни функції .

В математичному відношенні зручніше оперувати комплексною формою ряду Фур’є представленою у вигляді

, (2.2)

де - комплексна амплітуда гармонійної складової частоти .

Комплексна амплітуда визначається через тимчасову функцію за допомогою формули

. (2.3)

Сукупність амплітуд і відповідних частот гармонік прийнято називати спектром амплітуд.

Сукупність початкових фаз і відповідних частот гармонік називають спектром фаз.

На рис. 2.1 подані графічні зображення спектра амплітуд і спектра фаз періодичного сигналу.

Окремі спектральні складові у графічному зображенні спектра амплітуд називають спектральними лініями.

2.1.2 Практична ширина спектра сигналу

Практично всі канали зв’язку мають обмежену смугу пропускання. Отже, при передачі сигналу через реальний канал зв’язку може бути передана лише частина його частотного спектра.

За практичну ширину спектра сигналу приймають діапазон частот, в межах якого знаходиться найбільш вагома частина спектра сигналу. Вибір практичної ширини спектра сигналу визначається двома критеріями: енергетичним критерієм та критерієм допустимих спотворень форми сигналу.

2.1.3 Імпульси прямокутної форми

Розглянемо для прикладу послідовність прямокутних імпульсів тривалістю t, амплітудою А, із періодом проходження Т (рис. 2.2).

Розкладемо в ряд Фур’є періодичної послідовності прямокутних ім - пульсів представляється у вигляді

. (2.4)

Спектр амплітуд такого сигналу показаний на рис. 2.3

Обвідна його визначається рівнянням

, (2.5)

де - для К-ої гармоніки.

2.1.4 Практична ширина спектра для прямокутних імпульсів

Можна показати, що для періодичної послідовності імпульсів прямокутної форми тривалістю достатньо практичну ширину спектра вибрати рівною . В цій області частот зосереджено 95% всієї потужності сигналу. Розглянемо одиночний прямокутний імпульс тривалістю Т та величиною h. спектральна щільність такого сигналу визначається виразом

(2.6)

Енергія сигналу, зосереджена в смузі частот від 0 до ,

. (2.7)

Для оцінювання впливу ширини смуги пропускання каналу зв’язку на викривлення форми сигналів розглянемо проходження прямокутного імпульсу тривалістю Т та величиною U через канал зв’язку, що являє собою ідеальний фільтр низьких частот. Коефіцієнт передачі цього фільтру виражається залежністю: , при цьому в діапазоні частот модуль коефіцієнту передачі і аргумента ; поза цим діапазоном .

В теорії кіл показано, що вихідний сигнал в цьому випадку може бути представлений в аналітичному вигляді

. (2.8)

Форми переднього й заднього фронтів імпульсу спотворюються однаково. На рис. 2.4 показана форма переднього фронту вихідного сигналу.

Щоб вихідний сигнал зміг досягнути найбільшого значення, активна тривалість переднього фронту повинна бути не більше тривалості вхідного імпульсу . При цьому, як показав аналіз, повинна бути справедлива умова або .

2.1.5 Імпульси косинусоїдальної форми

Функція , що описує даний сигнал рис.2.5, може бути представлена у вигляді:

(2.9)

Комплексна амплітуда сигналу має вигляд

. (2.10)

Після перетворення отримуємо

. (2.11)

Оскільки

,

то спектр сигналу містить тільки парні гармоніки рис. 2.6. При цьому комплексна амплітуда

, (2.12)

модуль комплексної амплітуди

. (2.13)