Основная часть

Постановка задачи

Составление модели начинаем с выбора переменных, совокупность числовых значений которых однозначно определяет один из вариантов процесса. Для каждого модуля и для каждогоместа введем переменную, которая может принимать всего два значения (0 или 1):

Тогда искомая модель размещения может быть представлена матрицей вида:

Ограничения задачи

, (1.1)

. (1.2)

Таким образом, математическая модель задачи о размещения является задачей целочисленного квадратичного (булева) программирования вида:

(1.3)

при ограничениях (1.1), (1.2) и

(1.4)

Теоретическая часть

В данной работе решение примера осуществляется с помощью метода Гомори.

Метод Гомори Постановка задачи цлп

Задача целочисленного программирования (ЦЛП) формулируется так же, как и задача ЛП, но включается дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных, составляющих оптимальное решение должны быть целыми неотрицательными числами:

(1)

Симплекс-метод не гарантирует целочислености решения задачи (1), поэтому для отыскания оптимального целочисленного решения задачи ЦЛП требуются специальные методы. Один из таких методов, приводящий к целочисленному решению за конечное число шагов, предложен американским математиков Р. Гомори. Идея метода следующая.

С помощью симплекс-метода решается задача ЛП без условия целочислености. Если оптимальное решение получается нецелочисленным, то вводится дополнительное ограничение, которое, уменьшая многогранник допустимых решений (отсекая некоторую его часть), не исключает из него целочисленных точек. Если оптимальное решение задачи ЛП с дополнительным ограничением целочисленное, то вычисления заканчивают; если же оптимальное решение содержит хотя бы одну дробную компоненту, добавляют новое дополнительное ограничение.

Процесс присоединения дополнительных ограничений повторяют до тех пор, пока либо не будет найдено целочисленное оптимальное решение, либо показано, что задача не имеет целочисленных решений.

Алгоритм метода Гомори

Шаг 1.Симплекс-методом находим оптимальное решение задачи (1) без учета условия целочислености. Если задача не имеет решения, то неразрешима и исходная задача ЦЛП. В случае алгоритм завершает работу.

Шаг 2.Пусть оптимальная таблица имеет вид:

	b		…
L			…
			…
…	…	…………..
/			…

Если элементы – целые, то оптимальное решениеявляется целочисленным. В этом случае вычисления заканчиваем. Иначе, переходим к следующему шагу.

Шаг 3.Среди дробных компоненттаблицы выбираем элементс максимальной дробной частьюи по строкеiсоставляем дополнительное ограничение:

Здесь - целая часть числа(наибольшее целое число, не превышающее число).

Шаг 4.Добавляем построенное ограничение к последней симплекс-таблице и, применяя двойственный симплекс-метод, находим оптимальное решение. Переходим к шагу 2.