Тема 3 ошибки выборочных показателей. Сравнение выборочных средних
Цель занятия. Изучить принципы расчетов критерия достоверности выборочных средних и освоить их практическое применение.
Содержание занятия. Как правило, выборочные характеристики не совпадают по абсолютной величине с соответствующими генеральными параметрами. Величина отклонения выборочного показателя от его генерального параметра называется статистической ошибкой этого показателя или ошибкой репрезентативности. Статистические ошибки – это не ошибки, допускаемые при измерении биологических объектов. Они возникают исключительно в процессе отбора вариант из генеральной совокупности и к ошибкам измерений отношения не имеют.
Достоверность выборочных показателей устанавливают при помощи ошибки репрезентативности, или средней ошибки – (Sх) или (mх), вытекающей из самой сущности выборочного обследования, при котором целое (генеральная совокупность) характеризуется на основании изучения части (выборки).
В
малых выборках
вычисляется по следующей формуле:
;
когда n
< 30
Sх – ошибка средней арифметической,
σ – среднее квадратическое отклонение,
n - количество признаков (вариант).
Согласно этой формуле, ошибка средней арифметической зависит от величины σ и n, причем, чем меньше разнообразие признака, тем меньше ошибка. При полной однородности совокупности по изучаемому признаку (σ = 0) средняя ошибка равна нулю, т.е. Х выборки становится равной Х генеральной совокупности. Величина средней ошибки находится в обратной зависимости от n. Чем больше вариант вошло в выборку, тем меньше ошибка выборочной Х. Допустим, в выборке из 30 коров среднесуточный удой – Х = 21,26 кг, а σ = ±3,68. Ошибка средней арифметической в данном случае составит:
=
0,68 кг
Это обозначает, что средняя ошибка на 30 голов составляет 0,68 кг. Следовательно, среднесуточные удои изученной выборки характеризуются Х ± Sх = 21,6 ± 0,68.
При больших вариационных рядах количество арифметических действий достигает многих десятков и даже сотен, что нередко ведет к, так называемым, ошибкам внимания. Существует более простой метод вычисления статистической ошибки средней арифметической, который дает возможность в несколько раз сократить количество арифметических действий и снизить при этом вероятность ошибок внимания.
Предлагаемый метод называется константный метод вычисления ошибки средней арифметической по формуле Петерса и константе Молденгауэра. Этот метод раньше применялся в биологических исследованиях, его использовал Е.В.Монцевичуте – Эрингене в работах по медицинской онкологии. Однако он не получил до сих пор широкого применения и не описывается в руководствах по биометрии.
Ошибку средней арифметической вычисляют константным методом по формуле:
Sх (m) = К × Σ а,
где К – константа Молденгауэра, вычисленная по формуле
К
=
Σ –знак суммы, а – отклонения вариантов от средней арифметической (х – Х). В табл. 4 представлены вычисленные константы от различного количества вариант от 3 до 101 по порядку, а затем через каждые 50 до 1000.
Таблица 4 - Константы Молденгауэра для вычисления ошибок
средних арифметических
Число вариант |
Конс-танты |
Число вариант |
Конс-танты |
Число вариант |
Конс-танты |
Число вариант |
Конс-танты |
3 |
0,2904 |
26 |
0,0096 |
49 |
0,0037 |
93-96 |
0,0014 |
4 |
0,1809 |
27 |
0,0091 |
50 |
0,0036 |
97-100 |
0,0013 |
5 |
0,1253 |
28 |
0,0086 |
51 |
0,0035 |
101 |
0,0012 |
6 |
0,0934 |
29 |
0,0082 |
52 |
0,0034 |
150 |
0,00062 |
7 |
0,0731 |
30 |
0,0078 |
53 |
0,0033 |
200 |
0,00045 |
8 |
0,0592 |
31 |
0,0074 |
54 |
0,0032 |
250 |
0,00032 |
9 |
0,0492 |
32 |
0,0070 |
55 |
0,0031 |
300 |
0,00024 |
10 |
0,0418 |
33 |
0,0067 |
56 |
0,0030 |
350 |
0,00019 |
11 |
0,0360 |
34 |
0,0064 |
57-58 |
0,0029 |
400 |
0,00016 |
12 |
0,0315 |
35 |
0,0062 |
59 |
0,0028 |
450 |
0,00013 |
13 |
0,0278 |
36 |
0,0059 |
60-61 |
0,0027 |
500 |
0,000107 |
14 |
0,0248 |
37 |
0,0056 |
62 |
0,0026 |
550 |
0,000097 |
15 |
0,0223 |
38 |
0,0054 |
63-64 |
0,0025 |
600 |
0,000085 |
16 |
0,0202 |
39 |
0,0052 |
65-66 |
0,0024 |
650 |
0,000076 |
17 |
0,0184 |
40 |
0,0050 |
67-68 |
0,0023 |
700 |
0,00068 |
18 |
0,0169 |
41 |
0,0048 |
69-70 |
0,0022 |
750 |
0,000061 |
19 |
0,0156 |
42 |
0,0047 |
71-72 |
0,0021 |
800 |
0,000055 |
20 |
0,0144 |
43 |
0,0045 |
73-74 |
0,0020 |
850 |
0,000050 |
21 |
0,0133 |
44 |
0,0043 |
75-77 |
0,0019 |
900 |
0,000046 |
22 |
0,0124 |
45 |
0,0042 |
78-80 |
0,0018 |
950 |
0,000043 |
23 |
0,0110 |
46 |
0,0040 |
81-83 |
0,0017 |
1000 |
0,000040 |
24 |
0,0102 |
47 |
0,0039 |
84-87 |
0,0016 |
- |
- |
25 |
0,0099 |
48 |
0,0038 |
88-92 |
0,0015 |
- |
- |
Х од вычисления прост. После определения средней арифметической величины (Х = Σх : n) находят от неё отклонения (а) для каждого варианта. Последние суммируют без учета арифметических знаков и полученную сумму умножают на константу в таблице 4 в строке соответствующего количества вариант или близкой к нему. В результате получают значение статистической ошибки средней арифметической величины.
Таким образом, константный метод не требует возведения в квадрат каждого отклонения от средней арифметической (или самих вариант) и вычисления квадратного корня.
Пример. Вычислить среднюю арифметическую величину и ее статистическую ошибку следующего вариационного ряда.
Варианты (х) |
13 |
12 |
14 |
13 |
12 |
11 |
11 |
15 |
16 |
13 |
Σ х = 130 |
Отклонения а = х - Х |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
0 |
Σ а = 12 |
П
ри
n
= 10 средняя арифметическая равна Х
=
= 13,0
Константа Молденгауэра (К) при десяти вариантах равна 0,0418. Подставляем в формулу Петерса:
Sх = К × Σ а = 0,0418 × 12 = 0,5016 ≈ 0,5
Таким образом, данный вариационный ряд характеризуется
Х ± Sх = 13,0 ± 0,50
Задание 10. Вычислить ошибку средней арифметической (Sх) для вариационных рядов со следующими показателями:
а ) Х = 20, σ = 4, n = 100;
б) Х = 20, σ = 2, n = 100;
в ) Х = 20, σ = 1, n = 100;
Как изменится величина средней ошибки при изменении σ?
Задание 11. Вычислить ошибку средней арифметической (Sх) для вариационных рядов со следующими показателями:
а ) Х = 20, σ = 2, n = 10;
б ) Х = 20, σ = 2, n = 100;
в ) Х = 20, σ = 2, n = 1000;
По каким формулам должна быть вычислена ошибка средней арифметической при указанных данных? Как изменяется её величина при изменении числа вариант?
Задание 12. Десять ягнят весили при рождении соответственно: 3,0; 5,0; 4,0; 7,5; 4,0; 5,0; 6,0; 6,5; 4,0; 5,0 кг. Вычислить среднюю живую массу при рождении этих ягнят и ее среднюю ошибку, применив квадратический метод вычисления этого показателя, и формулу Петерса. Сравните эти два метода вычисления статистической ошибки средней арифметической.