2.5 Пример решения задачи о назначениях венгерским методом
Задача. Решить задачу о назначениях, которая определяется матрицей
.
Решение.
При решении задачи знак выделения +, подлежащий уничтожению, обводим кружком. Последовательность из элементов 0' и 0* на втором шаге указываем стрелками.
1. Подготовительный
этап. Максимальный
элемент первого столбца матрицы C
равен 4. Поэтому для получения первого
столбца необходимо из 4 вычесть элементы
первого столбца матрицы. Аналогично
для получения второго, третьего,
четвертого и пятого столбцов вычитаем
элементы этих столбцов из максимальных
элементов 5, 3, 2 и 3 соответственно. В
полученной матрице минимальный элемент
каждой строки равен нулю, поэтому матрица
найдена. Помечаем независимые нули: в
первом столбце выбираем произвольный
путь, тогда во втором и в третьем столбцах
независимых нулей нет, в четвертом
столбце помечаем независимый нуль, в
пятом столбце независимого нуля нет.
Следует заметить, что в рассматриваемой
задаче возможны и другие варианты выбора
независимых нулей – предлагается
рассмотреть эти варианты самостоятельно.
.
2.Первая итерация
Шаг 0. Выделяем знаком + первый и четвертый столбцы – они содержат 0*.
Шаг
1. Просматриваем невыделенные нули
матрицы 
.
Помечаем штрихом нуль, расположенный
во второй строке и во втором столбце.
Поскольку в этой строке содержится 0*,
то имеем случай а) и ставим + на вторую
строку, а знак + над первым столбцом
обводим кружком (убираем). Помечаем
штрихом нуль этого столбца, который
лежит в третьей строке, не содержащей
0*. Имеем случай б), поэтому переходим к
шагу 2.
Шаг
0
Шаг
1
Шаг
2. Строим последовательность: от последнего
помеченного 0' движемся к 0* (первый
столбец, вторая строка), затем от 0* из
второй строки переходим к 0', расположенному
в той же строке и во втором столбце.
Поскольку второй столбец не содержит
0*, то процесс построения последовательности
закончен. Найденная последовательность
состоит из элементов: 
.
Преобразованная последовательность
принимает вид 
.
Вносим эти изменения в матрицу 
,
чистим ее (убираем знаки + и штрих) и
получаем в результате матрицу 
,
в которой число независимых нулей (0*)
увеличено на единицу. На этом первая
итерация алгоритма завершается.
Шаг
2
Поскольку последующие итерации проводятся аналогично, ниже приводятся результаты вычислений без дополнительных пояснений.
3. Вторая итерация
Шаг
0
Шаг
1
Шаг
3 а), б), h=1
Шаг
3 в)
Шаг
1
Шаг
2
4. Третья итерация
Шаг
0, Шаг 1
Шаг
2
После
третьей итерации количество независимых
нулей (0*) стало равным размерности n
матрицы и поэтому процесс выбора
закончен. Искомые элементы матрицы Cсоответствуют
позициям независимых нулей матрицы 
.
Значение целевой функции
.
Оптимальное
решение задачи о назначениях с
соответствующей матрицей C
определяется набором 
со значениями: 
.
Содержательно это означает, что первую
работу выполняет второй исполнитель,
вторую – третий исполнитель, третью
работу – первый исполнитель, четвертую
– пятый исполнитель и пятую работу
выполняет четвертый исполнитель.