11. Задача оптимального планирования

Имеется фирма в составе двух предприятии, производящих соот­ветственно два и четыре различных вида продукции. Каждое предприятие для производства продукции использует свои внутренние, локальные ресурсы (рабочую силу и оборудование). Предприятия совместно потребляют некоторый лимитированный ресурс (сырьё). Пусть b - ко­личество общего ресурса, b₁, b₂ - ресурсы первого предприятия, b₃, b₄ - ресурсы второго предприятия, a_ij - количество i -го ресурса, необходимого для производства j –го вида продукции, С_i - прибыль фирмы от реализации единицы i –й продукции.

Определить план производства продукции, дающий максимальную прибыль.

12. Производство оптимального набора продуктов

Фабрика мажет производить n различных продуктов, располагая для этого S видами ресурсов в количестве . Для производства продуктов могут быть использованы т технологи­ческих способов. Заданы величины , характеризующие нормы расхода i -го ресурса на единицу k -го продукта при изготовлении его j -м способом. Известна цена P_k единицы k -го продукта.

Составить модель задачи по определению оптимального набора про­дуктов и способов их производства из условия максимизации товарной продукции при дополнительном условии, согласно которому любой k -й продует либо должен производиться в количестве, не меньшем d_k, либо совсем не производиться.

13. Распределение капиталовложений

Общую сумму капиталовложений К необходимо распределить между q объектами, потребности которых определяются суммами а ожидаемые прибыли . При этом на каждый объект капиталовлажения либо выделяются в необходимой сумме, либо совсем не наделяются.

Задача: найти распределение капиталовложений с максимальной прибылью.

14. Размещение производства

Имеются q пунктов потребления, потребности которых в не­котором продукте измеряются величинами . Для удовлетворения этих потребностей могут быть использованы Р пунктов возможного производства продукта.

Задана матрица затрат на перевозки единицы продукта из i -го пункта производства в k -й пункт потребления. Предполагается, что в каждом i -м пункте возможны n_i взаимоисключающих вариантов производства с объемами .

Определить оптимальный план размещения производства из условия минимизации затрат на транспортировку продукта.

15. Размещение и транспортировка продукции

Для удовлетворения спроса q потребителей в количестве единиц продукции могут быть частично использова­ны имеющиеся предприятия, а частично предприятия, реконструируемые или вновь строящиеся. Производственные мощности этих предприятий составляют Задана матрица транс­портных затрат на доставку продукции и вектор производственных затрат на единицу продукции. Кроме того, имеются еще затраты d_i связанные с реконструкцией или строительством новых предприятий. Эти затраты d_i=0, если a_i=0 т.е. если i -й поставщик в плане не предусматривается, и di>0 если a_i>0. Для имеющихся предприятий соответствующие d_i=0 вне зависимости от a_i;.

Составить модель задачи по определению оптимального плана размещения производства и транспортировки продукции из условия миними­зации суммарных затрат.

16. Задача составления расписаний

Определен перечень работ для выполнения проекта. Заданы: вектор ресурса , который может быть выделен на выполнение проекта в год с номером i и вектор ресурса выделяемый для выполнения работ .

Выполнению работы предшествует совокупность работ, без выполнения которых работа под номером i начаться не может.

Задача: для каждого интервала времени t указать перечень работ и долю этих работ, которую необходимо выполнить так, чтобы суммарное врат выполнения проекта было минимально.

17. Задача загрузки станков

Ткацкая фабрика располагает N, станками первого типа и станками второго типа. Станки могут производить три вида тканей: Каждый вид станка может производить любой из видов ткани, но в неодинаковом количестве. Станок первого типа производит в еди­ницу времени метров ткани соответственно, станок второго типа - метров ткани. Каждый метр ткни - приносит прибыль . Согласно плану производства фабрики должна произвести в единицу времени не менее метров ткани и не менее метров ткани .

Требуется распределить загрузку станков производством тканей различного вида так, чтобы план был выполнен, и при этом прибыль в единицу времени была максимальна.

18. Задача о выборе производственной программы

Имеются т предприятий, на которых нужно произвести n продуктов в заданном ассортименте . Известна производительность i -го предприятия в единицу времени, если оно изготовляет j -и продукт. Предполагается, что , т.е. каждый продукт может производиться хотя бы на одном предприятии.

Требуется указать время, отведенное на производство каждого вида продукта на каждом предприятии так, чтобы получить максимальный суммарный объем продукции в заданном ассортименте в единицу времени.

19. Оптимизация межотраслевых потоков

Пусть имеются n отраслей хозяйства каждая из которых производит только свой один специфический вид продукции, причём каждый произведенный вид продукции используется (в частности, в ну­левом количестве) в производстве во всех n отраслях.

Пусть - объем производства в i -и отрасли, - объем продукта i -го вида для внепроизводственного потребления, - коэффициент прямых затрат продукции j -го вида на про­изводстве в i -й отрасли единицу продукции i -го вида. - максимально возможный объем производства в i -й отрасли, -требуемое для внепроизводственного потребления количество продукции -го вида, - стоимость единицы продукции -го вида.

Требуется найти такие возможные в заданных условиях объёмы производства и такой план выпуска конечной продукции , при котором максимизируется общая стоимость произве­денного конечного продукта.

20. Задача распределения удобрений

Имеется ограниченное количество удобрений К, которые не­обходимо распределить между посевами п, различных с/х культур. Суммарная площадь посева фиксирована .

Известны - цена реализации единицы продукта, -цена единицы удобрений.

Урожайность культуры зависит от количества внесенных на единицу площади удобрений.

Продукция должна быть получена во вполне определенном ассорти­менте

Найти способ распределения земель и удобрений, при котором суммарный доход от продажи продукта будет максимален.

21. Задача планирования строительства

Для строительства домов на 100 строительных площадках выбраны пять типовых проектов. По каждому из проектов известны: длитель­ность закладки фундаментов и строительства остальной части здания в днях, а также жилая площадь дома и стоимость 1 жилой площади.

Тип дома	1	2	3	4	5
Фундамент	20	30	35	30	40
Остальные работы	40	20	60	35	25
Жилая площадь	3000	2000	5000	4000	6000
Стоимость 1	200	150	220	180	200

Параллельно можно вести закладку 10 фундаментов и строительст­во 15 зданий.

1. Определить план строительства, обеспечивающий ввод макси­мальной жилой площади в течение года (300 рабочих дней).

2. Решить ту же задачу при дополнительном ограничении: число домов каждого типа должно оказаться не менее 10.

22. Задача календарного планирования (теории расписаний)

Для обработки деталей имеется ставков. Каждая де­таль должна пройти обработку в некоторой последовательности на всех станках. Задано время обработки -й детали на -м станке.

Выполняются условия:

1) на одном станке единовременно может обрабатываться только одна деталь;

2) для каждой детали указан определенный порядок обработки;

3) производственные операции неделимые, т.е. начавшаяся на определенном станке обработка детали должна быть закончена не пре­рываясь.

Составить модель задачи по определению оптимального порядка обработки деталей, минимизирующего общее время выполнения всех работ. (Решить задачу о двух станках, используя алгоритм Джонсона).

23. Оптимизация машинного парка

Имеются т типов машин и видов работ, подлежащих вы­полнению в объёмах . Задана матрица , где - производительность -й машины на -й работе, матри­ца , где - себестоимость выполнения единицы -й работы машиной -го типа, и стоимость одной машины -го типа.

Составить математическую модель задачи по определений оптимального машинного парка (т.е. количество машин каждого типа) и оптимального его распределения по указаным работам из условия минимизации суммарной стоимости (машинного парка и произведших работ).

24. Оптимизация состава пароходов

Имеются пароходы типов в количествах , на каждом из которых имеются грузовых ёмкостей с грузоподъ­ёмностью ( - тип парохода, - тип ёмкости). Подлежат перевозке видов грузов в количествах . Задана матрица , где затраты при хранении в -й ёмкости -го груза.

Составить математическую модель задачи по выбору оптимального состава пароходов, если затраты по эксплуатации одного парохода -го типа равны .

25. Оптимизация распределения машин по маршрутам

Имеется маршрутов, по каждому из которых необходимо совершить рейсов и автомашин (), каждая из которых может быть использована в течение часов (). На выполнение -й машиной рейса по -му маршруту требуется часов при затратах рублей.

Составить модель задачи оптимального распределения машин по маршрутам. 26. Оптимизация использования бревен

Требуется распилить брёвен длиной каждое на брусья трёх размеров: 3,5; 4,5 и 5м, которые должны быть изготовлены в ассортименте 2:1:1.

Составить модель для определения оптимального плана распила из условия максимального числа брусьев в заданном ассортименте.

27. Приобретение товаров

Получатель имеет сумму денег и может купить товары трёх видов по цене за единицу. Функция полезности товара для покупателя имеет вид , где количество товаров, которые он покупает.

Определить, какое количество товара каждого вида выгодно при­обрести покупателю.

28. Распределение ресурсов

Комплексная целевая программа включает К подпрограмм. Известно, что для выполнения -й подпрограммы в полном объеме достаточно ресурсов в количестве степень же выполнения подпрограммы при выделении на неё ресурсов составляет Степень выполнения всей программы определяется как , где -коэффициент важности -й подпрограммы.

Найти оптимальное распределение общего ресурса объема подпрограммам в случае дефицита

29. Управление ресурсами

Имеется начальное количество средств , которое нужно распределить между отраслями производ­ства. Средства вложенные в -ю отрасль, приносят доход . По истечении года оставшиеся средства заново распределяются между отраслями. Средства извне не поступает, и в производство вкладываются все оставшиеся в наличии средства; доход не вкладывается, а накапливается отдельно.

Требуется найти способ управления ресурсами, при котором сум­марный доход будет максимальный.

30. Задача надежности

Рассматривается электронная системе, состоящая ив 4-х блоков, каждый из которых должен функционировать для работы всей системы. Надежность системы может быть улучшена путем включения в блоки параллельно работающих компонент. В табл.1 приведены вероятности функционирования блоков, если они содержат 1, 2 пи 3 параллельно включенные компоненты.

Таблица I

Число компонентов	Блок 1	Блок 2	Блок 3	Блок 4
1	0,70	0,50	0,70	0,60
2	0,80	0,70	0,90	0,70
3	0,90	0,80	0,95	0,90

Вероятность успешного функционирования всей системы равна произведению вероятностей надёжной работы блоков. Стоимость включения 1,2 или 3 параллельных компонент в блоке приведена в табл. 2

Таблица 2

Число компонентов	Блок 1	Блок 2	Блок 3	Блок 4
1	10	20	10	20
2	20	40	30	30
3	30	50	40	40

На создание всей системы выделена сумма 100. Определить необходимое число компонент в каждом их четырёх бло­ков, чтобы максимизировать вероятность успешной работы всей система.

31. Формирование оптимального парка машин

Сформировать оптимальный парк машин, если известны такие данные:

-производительность машины -го вида, используемой в -ом виде работы

-объем -го вида работы в единицу времени;

- издержки на аренду и содержание -го вида.

32. Построение специализированного вычислительного устройства

Устройство должно состоять из блоков вычисляющих после­довательно т определенных функций. Имеется различных ва­риантов выполнения каждого блока, отличающихся схемным решением. Заданы ограничения в отношении максимальной стоимости , макси­мальных габаритов , максимального времени выполнения устройст­вом всей совокупности функций . Известны данные по стоимости , габаритам и времени вычисления функций для каждого блока при каждом варианте его выполнения .

Сформулировать возможные варианты постановки задачи оптимально­го построения вычислительного устройства.

33. Задача распределения удобрений

Колхоз предполагает засеять зерновыми культурами поле площадью . Имеется единиц удобрений. Известно, что внесение удобрений в точку дает прибавку урожая , причем в точку можно вносить не более единиц удобрений.

Определить распределение удобрений по площади обес­печивавшее наибольший урожай, если урожайность в точке без внесения удобрений равна .

34. Задача оптимального резервирования

Имеется система, состоящая из элементов типов, которые характеризуются вероятностями отказов и весами .

Определить количество элементов каждого типа, обеспечивающих минимальную вероятность отказа системы при условии, что вес систе­мы ее превышает величины .

35. Сетевое планирование

Информация о проекте задана перечнем работ, их продолжитель­ностью и последовательностью выполнения:

Работа	1	2	3	4	5	6	7	8
Каким работам предшествует	4,5,6	4,5,6	5,6	8	8	7	8
Продолжительность	20	10	8	20	10	5	5	10

1. Построить сетевой график проекта, найти критическое время проекта и критический путь.

2. Если в -ю работу вложить средства , то время выполнения работы уменьшится до . Определить размер вложенных средств , в первую, четвертую и восьмую работы так, чтобы время завершения всего комп­лекса работ не превышало 40, а сумма вложений была минимальной.

3. В общем случае сформулировать задачу минимизации суммы вложе­ний, необходимых для того, чтобы обеспечить, завершение всего комп­лекса работ к заданному моменту времени как задачу линей­ного программирования.

36.Задача выбора

Имеются работ и сотрудников, которые должна быть назначены ни выполнение этих работ. Каждый сотрудник характе­ризуется рядом параметров . Заданы коэффициенты значимости -го параметра при выпол­нении -и работы. Найти оптимальное распределение работ между сотрудниками.

37. Оптимальный.выпуск продукции

Рассматривается трёхотраслевая модель народного хозяйства о технологической матрицей ,где - коэффициенты прямых затрат. Заданы коэффициенты прямых затрат труда и капиталовложений общий объем , трудовых ресурсов потребности в конечном продукте , цена на импортируемые продукты , цены на экспортируемые продукты , где - размер экспорта -го продукта, и минимально допустимый дефицит внешней торговли (размер между суммарной стоимостью импорта и экс­порта).

Определить валовый выпуск продукции, объемы экспорта и импорта, при которых требуется минимум капиталовложений.

38. Оптимальное строительство

Определить место строительства завода между двумя пунктам сбыта, расстояние между которыми 100 км, и размер поставок в каждый из пунктов, если валовый выпуск продукции завода составляет 150 ед., а зависимость цены единица продукции от количества поставляемой продукции в каждый из пунктов сбыта и затрат за перевозки единицы продукции от расстояния между заводом и пунктом сбыта задаются (табл. 3).

Таблица 3

Пункты	Цена	Затраты
1	15-0,1
2	12-0,08	1,5-0,05

39. Производственная программа и план перевозок

Четыре предприятия могут производить продукцию в урочное время в количествах и дополнительно в сверхурочное время в количествах . При атом затраты на производство единицы продукции по предприятиям составляют при работе в урочное время и соответственно на 50% выше при работе в неурочное время. Продукция должна быть доставлена четырём потребителям в количествах

Транспортные расходы за перевозку единицы продукции от -го предприятия -му потребителя заданы матрицей .

Определить оптимальную производственную программу предприятий и оптимальный план перевозок.

40 Программа обработки изделия.

Найти оптимальную программу обработки изделий на взаимозаменяемых станках при заданных, исходных данных:

- норма времени для обработки одного -го изделия на -м ставке;

- себестоимость обработки, руб/ч, одного -го изделия на -м станке;

- общее время работы -го станка;

- план обработки изделий -го типа;

- прибыль, получаемая при реализации одного изделия -го типа.

В качестве критерия оптимальности выбрать:

1) минимум себестоимости;

2) минимум затрат времени работы станков;

3) максимум прибыли.

41. Распределение заданий между швейными фабриками

Плановое задание по изготовлению моделей костюмов необходимо распределить между п швейными фабриками. Производственные мощности -и фабрики позволяют за рассматриваемый отрезок времени выпустить костюмов -й модели. Заданы цены

на костюм -й модели и себестоимости изготовления -й модели на -й фабрике. Плановое задание -й модели - .

1) Составить оптимальный план загрузки фабрик из условия минимизации себестоимости плановой продукции.

2) Составить оптимальный план загрузки фабрик, обеспечивающих максимальное число комплектов костюмов, если числа планового задания рассматривать как ассортиментные отношения.

42. Оптимизация структуры посевов

На п участках могут выращиваться культур. Известны размеры участков в гектарах урожайность (ц/га) на каждом из участков по каждой культуре; затраты в чел/ч на 1 ц.; плановое задания по сбору культур

1) Определить структуру посевов, минимизирующую суммарные затраты.

2) Определить структуру посевов, обеспечивающую максимальное перевыполнение плана при сохранения планового ассортимента.

3) Известно дополнительно, что имеется парк тракторов, который может выделить для обработки данных участков тракторо часов, затрачивая на обработки 1 га на соответствующих участках часов. Составить оптимальную структуру посевов, максимизирующую суммарный сбор урожая при клановом ассортиментном соотношении .

4) Решить задачу 3). дополнительно обеспечивая выполнение пла­нового задания с минимальными затратами.

43. Оптимизация плана загрузи предприятий

Составить оптимальный месячный план загрузки предприятий из условия получения максимального числа комплектов видов изделий. В каждый комплект изделия входят в отношении 1:2:3. Месячная производительность -го предприятия на -м изделии равна . Себестоимость одного изделия -го вида на -м пред­приятии равна .

44. Оптимальное распределение бумажных ресурсов

Имеются три сорта бумаги в количествах , которую можно использовать на издание четырех книг тиражом экземпляров. Расход бумаги на одну книгу составляет , а себестоимость печатания книги К при использовании -го сорта бумаги задается матрицей Определить оптимальное распределение бумажных ресурсов.

45. Задача о выпуске продукции

Предприятие производит п видов продукции, спрос на которую яв­ляется функцией времени . Для изготовления продукции используются т видов сырья, запасы которого задаются вектором . Изготовление единицы продукции вида требуется единиц сырья вида , а её стоимость равна .

1) Определить оптимальные планы выпуска продукции для каждого из Т интервалов планового периода, считая, что спрос на протяжении -го интервала постоянный и равен его значению на начальный момент времени .

2) Решить задачу при дополнительном условии, что вектор ресур­сов также меняется со временем, причем .