2.3 Алгоритм метода искусственного базиса

Шаг 1.Приводим задачу ЛП к канонической форме

(2.3.1)

с неотрицательными правыми частями .

Шаг 2. В каждуюi-ю строку ограничений вводим искусственную неотрицательную переменнуюx_i и строим вспомогательную задачу ЛП вида:

(2.3.2)

Эта задача имеет допустимое базисное решение . Для этого целевую функцию необходимо выразить через свободные переменные:

Шаг 3. Для построенной вспомогательной задачи строим симплексную таблицу:

	b		…
			…
			…
.	.	…
			…

и находим оптимальное решение вспомогательной задачи с помощью симплекс-метода.

Шаг 4. Еслии все переменныеявляются небазисными, тоmпеременных извойдут в базис и система ограничений, соответствующих симплексной таблице, будет иметь вид:

(2.3.3)

Так как переменные , то их исключили, не нарушив при этом равенств. Выражая целевую функцию основной задачичерез небазисные переменныесистемы, получим исходную задачу.

Шаг 5.Если, но в базисе остались искусственные переменные, для которых, то проводим для каждой искусственной переменной из базиса следующее преобразование симплексной таблицы: выбираем ведущим столбцом столбец такой переменной, для которой элемент индексной строки, а элемент столбца . В этом случае строка искусственной переменнойбудет ведущей и после стандартного преобразования симплексной таблицы (Шаг 6 из прямого симплекс-метода) искусственная переменнаявыведется из базиса. В результате получим симплексную таблицу, соответствующуюШагу 4.

Шаг 6. Если, то допустимого решения в исходной задаче не существует (не могут все искусственные переменныебыть равными нулю), а значит, система ограничений задачи несовместна – процесс решения исходной задачи завершается.

3 Расчетная часть

Рассмотрим пример:

Пусть количество удобрений K=3 у.е. и число посевов сельскохозяйственных культурn= 3 у.е. Суммарная площадь посеваSбудет составлять 5 ед., а цена единицы удобренияqбудет равна 10 у.д.е.

Зададим таблично цену реализации единицы каждого продукта P_iи ассортиментλ_i, в котором должна быть получена выращиваемая продукция _:

P1 (у.д.е)	P2 (у.д.е)	P3 (у.д.е)		λ1 (ед.)	λ2 (ед.)	λ3 (ед.)
2	5	3		3	5	10

Пусть матрица урожайности B_ik (ед.) имеет вид:

Тогда матрица Y будет также иметь размер 3х3.

Найдём решения данной задачи при различных вариантах представления матрицы Y.

При составлении матрицы будем использовать следующие ограничения (1.8) – (1.10).

Рассмотрим Вариант №1, когда матрицаY имеет вид:

Данная матрица рассматривает ситуацию, при которой под каждый вид культуры выделяется одна единица удобрений. При этом суммарный запас удобрений расходуется полностью, а значит и денежные затраты на него максимальны.

Подставим имеющиеся данные в математическую модель (1.12).

Тогда задача примет вид:

Таким образом, получаем задачу линейного программирования, которая может быть решена с использованием Симплекс-метода на минимум.

Для этого минимизируем целевую функцию и запишем полученную задачу ЛП:

Запишем полученную ЗЛП в канонической форме:

Ввиду отсутствия базиса в полученной из системы ограничений системе уравнений, добавив в каждую строку искусственную переменную. В результате получим вспомогательную задачу ЛП:

Запишем вспомогательную задачу ЛП в специальной форме:

Для полученной задачи строим Симплекс-таблицу:

	b	x1	x2	x3	y1	y2	y3
ω	176/21	2	2	2	-1	-1	-1
z1	1	1	0	0	-1	0	0
z2	5/7	0	1	0	0	-1	0
z3	5/3	0	0	1	0	0	-1
z4	5	1	1	1	0	0	0

	b	x1	z2	x3	y1	y2	y3
ω	146/21	2	0	2	-1	1	-1
z1	1	1	0	0	-1	0	0
x2	5/7	0	1	0	0	-1	0
z3	5/3	0	0	1	0	0	-1
z4	30/7	1	1	1	0	0	0

	b	x1	z2	z3	y1	y2	y3
ω	76/21	2	0	0	-1	1	1
z1	1	1	0	0	-1	0	0
x2	5/7	0	1	0	0	-1	0
z3	5/3	0	0	1	0	0	-1
z4	55/21	1	0	0	0	1	1

	b	z1	z2	z3	y1	y2	y3
ω	34/21	0	0	0	1	1	1
x1	1	1	0	0	-1	0	0
x2	5/7	0	1	0	0	-1	0
z3	5/3	0	0	1	0	0	-1
z4	34/21	1	0	0	1	1	1

	b	z1	z2	z3	y1	z4	y3
ω	-323/3	0	0	0	-29	0	-17
x1	1	1	0	0	-1	0	0
x2	7/3	0	1	0	1	0	1
z3	5/3	0	0	1	0	0	-1
y2	34/21	0	0	0	1	1	1

Так как среди элементов индексной строки симплекс-таблицы нет положительных элементов, то симплекс-таблица оптимальна.

Оптимальное решение

При

Это означает, что при выделении по одной единице удобрений на каждый вид посевов наиболее выгодно распределить участок земли на части, равные 1 ед., 7/3 ед. и 5/3 ед., которые в сумме дадут фиксированную площадь участка S, равную 5.

Ниже приведена Таблица 1, в которой представлены дальнейшие вычисления способа распределения земель при различных вариантах матрицы Y.

Все вычисления производились в среде MatLab6.5.

Таблица 1

№ варианта
1
2			31
3			130
4			48
5
6
7
8			126
9			58
10
11			10
12			95
13			90
14			30
15			105
16			165
17			100
18			110

В приведенной Таблице 1 рассмотрены все случаи распределения удобрений. При этом варианты 1 – 7 рассматривают ситуацию, при которой используется весь запас удобрений (при этом максимальны затраты на них). Как видно из таблицы, максимальную суммарную прибыль при использовании полного запаса удобрений можно получить при использовании матрицы Y из варианта 6. Однако при таком распределении удобрений нецелесообразно выращивание культуры первого вида.

Варианты 8 – 10 рассматривают ситуацию, при которой используется только две единицы удобрений (при этом затраты на их использование уменьшаются). Максимальную прибыль среди этих вариантов дает вариант 10.

Варианты 11 – 13 рассматривают ситуацию, при которой весь запас удобрений выделяется только под один вид посевов. В результате, очевидно, что в данном случае самый выгодный вариант - вариант 12.

Варианты 14, 15, 17 рассматривают ситуацию распределения двух единиц удобрений только под одну культуру. При этом максимальный суммарный доход будет получен при использовании варианта 15.

Ну и наконец, варианты 16 и 18 рассматривают ситуацию внесения одной единицы удобрений под одну культуру.

Анализ всех приведенных в Таблице 1 вариантов показал, что максимальный суммарный доход будет получен при использовании варианта 16, который предполагает, что будет произведено выращивание лишь одной культуры – культуры № 2, которой и будет отдана вся имеющаяся площадь. При этом под ее посев будет внесена лишь одна единица удобрений, что, в свою очередь, уменьшит затраты на использование удобрений.

Минимальный же суммарный доход может быть получен при использовании варианта 11, в котором предлагается занять всю имеющуюся площадь под посев №1, при этом предполагается использование всего объема удобрений.

Ответ: ,