1 Составление математической модели

Для использования стандартных вычислительных алгоритмов ЛП требуется математическая запись модели. Таким образом, необходимо умение переводить словесное описание задачи на язык математических символов.

Составление математической модели начинают с выбора переменных, совокупность числовых значений которых однозначно определяет один из вариантов процесса. Следует иметь в виду, что иной раз от удачного выбора этих переменных зависит простота модели и, следовательно, удобство дальнейшего ее анализа.

После выбора переменных необходимо составить ограничения по тексту задачи, которым эти переменные должны удовлетворять. При этом нужно следить, чтобы в модель были включены все ограничительные условия и в то же время не было ни одного лишнего или записанного в более жесткой, чем требуется условиями задачи, форме.

Наконец, составляется целевая функция, которая в математической форме отражает критерий выбора лучшего варианта.

После составления математической модели необходимо рассмотреть

возможные пути ее упрощения и выбрать подходящий вычислительный метод для решения задачи.

Этап I - Выбор переменных, необходимых для математической модели задачи.

Введем следующие переменные переменные:

x_i– площадь посеваi-ой с/х культуры,i = ,

c_i– число единиц удобрения, внесенных подi-ую с/х культуру,i = ,

b_ik - урожайностьi-ой культуры с единицы площади посевов, на которую внеслиkединиц удобрений.

Таким образом, решением задачи будет являться вектор x = (x₁, x₂, …, x_n), который представляет собой способ распределения земель междуn посевами, а также векторc = (c₁, c₂, …, c_n), иллюстрирующий распределение единиц удобрений по соответствующим участкам земли.

Этап II – Составление ограничений.

Составим ограничения, которым должны удовлетворять переменные:

Суммарная площадь, занимаемая n посевами, должна быть равна фиксированному значениюS:

(1.1)

Суммарное количество внесенных удобрений не должно превышать K (однако, может быть и меньшеK, так как необходимо учесть тот факт, что внесение удобрений может навредить посевам):

(1.2)

Учитывая тот факт, что ассортимент i культуры зависит от ее урожайности, запишем следующее ограничение:

(1.3)

В данном случае под λ_i понимается число единицi-ой культуры, которое должно быть получено в результате. Перемножая урожайность соответствующей культурой с занимаемой ею площадью, мы получаем в итоге реальное количество продукции. Накладываемое ограничение говорит о том, что реальное количество продукции не должно быть меньше требуемого.

Также используем в качестве ограничения условие неотрицательности:

(1.4)

Важно отметить, что переменная x_i может принимать нулевое значение, так как не исключена вероятность того, что выращиваниеi-ой культуры может повлиять на суммарный доход таким образом, что он окажется меньше, чем если бы эта культура не выращивалась вовсе. И, быть может, более выгодно будет вложить больше удобрений во все остальные культуры.

Этап III - Составление целевой функции.

Составим целевую функцию, которая в математической форме, отражает критерий эффективности выбора лучшего варианта.

Так как необходимо найти способ распределения земель и удобрений, при котором суммарный доход от продажи продукта будет максимален, то целевую функцию можно представить в виде разности между выгодой от продажи каждого продукта и расходами на удобрения:

(1.6)

Итак, математическая модель задачи будет иметь вид:

(1.7)

Данная математическая модель является нелинейной. Упростим ее, введя дополнительную булеву переменную:

если k единиц удобрений внесли в единицу площади подi-ую культуру

иначе

В результате будет получена матрица, состоящая из нулей и единиц:

k i	1	..	K
1
..
n

При этом необходимо учесть следующие ограничения для этой переменной:

Сумма по столбцам в каждой строке матрицы Y не должна превышать 1:

(1.8)

Это говорит о том, что под каждую культуру не более одного раза вносится определенное количество единиц удобрений.

Тогда ограничение для суммарного количества удобрений можно переписать следующим образом:

(1.9)

И ограничение для урожайности культур также примет вид:

(1.10)

Целевую функцию также можно представить в виде:

(1.11)

В результате получим видоизмененную математическую модель:

(1.12)

Как видно, в полученной математической модели не используются переменные c_i. Вместо этого искомый способ распределения земель и удобрений будет заключаться в том, что при различных наборах значений матрицыY, отражающих распределение единиц удобрений на единице площади каждой культуры, будет найдено соответствующее распределение земель. При этом каждый раз будет получено определенное значение целевой функции. Выбрав в итоге максимальное значение, мы найдём искомый вариант оптимального распределения.