2.4 Алгоритм метода Гомори

Метод Гомори для нахождения целочисленного решения относится к большой группе методов, называемых методами отсечений. Эти методы основаны на введении в задачу дополнительных ограничений, позволяющих учесть требование целочисленности. Основная идея методов отсечений состоит в том, что на полученное оптимальное нецелочисленное решение накладывается дополнительное ограничение, которое делает это решение недопустимым, но и не отсекает ни одного целочисленного решения от области допустимых решений.

Шаг 1. Симплекс-методом находим оптимальное решение задачи без учета условия целочисленности. Если задача не имеет решения, то неразрешима и исходная задача ЦЛП. В случае алгоритм завершает работу.

Шаг 2. Пусть оптимальная таблица имеет вид:

	B		…		…
L			…		…
			…		…
..	..	…………
			…		…
..	..	…………
			…		…

Таблица 3 – Симплекс таблица для специальной формы

Если - целые, то оптимальное решениеявляется целочисленным. В этом случае вычисления заканчиваем.

Шаг 3. Среди дробных компонент таблицы выбираем элементb_i с максимальной дробной частью β_i и по строке i составляем дополнительное ограничение:

; (13)

. (14)

Здесь - целая часть числаz (наибольшее целое число, не превышающее число z).

Шаг 4. Добавляем построенное ограничение к последней симплекс-таблице и, применяя двойственный симплекс-метод, находим оптимальное решение.

Переходим к шагу 2.

Замечание.

1. Признаком отсутствия целочисленного решения служит появление хотя бы одной строки с дробным свободным членом и целыми остальными коэффициентами (поскольку соответствующее уравнение неразрешимо в целых числах).

2. На шаге 4 двойственный симплекс-метод применяется до тех пор, пока не будет получена оптимальная симплексная таблица (возможно, потребуется несколько итераций).

3. Если на шаге 4 в базис вводится переменная дополнительного ограничения , то эта строка вычеркивается из симплексной таблицы (соответствующее ограничение является избыточным).

2.5 Двойственный симплекс-метод

Метод работает с теми же симплексными таблицами, что и прямой симплекс - метод для задачи на минимум. Сначала определяется переменная, подлежащая выводу из базиса, а затем переменная, вводимая в базис.

Вычислительная схема двойственного симплекс – метода

Шаг 0. Начинаем с симплексной таблицы

	B		…
L			…
			…
…	…	…………..
			…

Таблица 4 –Исходная симплекс таблица

где .

Шаг 1. Проверка на оптимальность. Если , то решение– оптимальное.

Шаг 2. Выбор ведущей строки. Выбираем среди номеров i, для которых , номерk с максимальным по модулю значением:

. (15)

Строка k объявляется ведущей.

Шаг 3. Проверка на неразрешимость. Если в строке нет отрицательных элементов, то двойственная целевая функция неограниченна и, следовательно, прямая задача не имеет допустимых решений. Процесс решения завершается.

Шаг 4. Выбор ведущего столбца s. Выбираем среди отрицательных элементов строки элемент с номеромs, для которого выполняется равенство:

. (16)

Столбец s объявляется ведущим, а элемент -ведущим элементом.

Шаг 5. Проводим стандартное преобразование симплексной таблицы (Шаг 6 из прямого симплекс-метода).