2.1 Алгоритм симплекс-метода для задачи на минимум

Шаг 0. Приводим задачу ЛП к специальной форме.

Шаг 1. Составляем симплекс-таблицу, соответствующую специальной форме:

	B		…		…
L			…		…
			…		…
..	..	…………
			…		…
..	..	…………
			…		…

Таблица 1 – Симплекс таблица для специальной формы

Заметим, что этой таблице соответствует допустимое базисное решение . Значение целевой функции на этом решении:

(6)

Шаг 2. Проверка на оптимальность.

Если среди элементов индексной строки симплекс – таблицы нет ни одного положительного элемента, т. е., оптимальное решение задачи ЛП найдено:. Алгоритм завершает работу.

Шаг 3. Проверка на неразрешимость.

Если среди есть положительный элемент, а в соответствующем столбценет ни одного положительного элемента, то целевая функцияL является неограниченной снизу на допустимом множестве. В этом случае оптимального решения не существует. Алгоритм завершает работу.

Шаг 4. Выбор ведущего столбца q.

Среди элементов выбираем максимальный положительный элемент:

. (7)

Этот столбец объявляем ведущим.

Шаг 5. Выбор ведущей строки p.

Среди положительных элементов столбца находим элемент, для которого выполняется равенство:

. (8)

Строку p объявляем ведущей. Элемент объявляем ведущим.

Шаг 6. Преобразование симплексной таблицы.

Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:

а) вместо базисной переменной записываем, вместо небазисной переменнойзаписываем;

б) ведущий элемент заменяем на обратную величину:

; (9)

в) все элементы ведущего столбца (кроме ) умножаем на ;

д) все элементы ведущей строки (кроме ) умножаем на;

е) оставшиеся элементы симплексной таблицы преобразуются по следующей схеме «прямоугольника»: Из элемента вычитается произведение трех сомножителей:

первый - соответствующий элемент ведущего столбца;

второй - соответствующий элемент ведущей строки;

третий - обратная величина ведущего элемента .

Преобразуемый элемент и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами «прямоугольника».

Шаг 7. Переход к следующей итерации осуществляется возвратом к шагу 2.

2.2 Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум

Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум отличается от алгоритма для задачи на минимум только знаками индексной строки коэффициентов в целевой функции , а именно:

На шаге 2: :

На шаге 3 . Целевая функция является неограниченной сверху на допустимом множестве.

На шаге 4: .

2.3 Алгоритм метода искусственного базиса

Шаг 1. Приводим задачу ЛП к канонической форме:

(10)

с неотрицательными правыми частями .

Шаг 2. В каждую i-ю строку этих ограничений вводим искусственную переменную z_i и строим вспомогательную задачу ЛП вида

(11)

Эта задача имеет очевидное базисное допустимое решение .

Шаг 3.Для построенной вспомогательной задачи строим симплексную таблицу 2:

	b	x1…xn
ω	ωо
z1 … zm	b1 … bm

Таблица 2 – Симплекс-таблица для метод искусственного базиса

и находим оптимальное решение с помощью симплекс-метода.

Шаг 4. Если , то все переменныеявляются небазисными, аm переменных из войдут в базис и система ограничений, соответствующих оптимальной симплексной таблице, будет иметь вид:

(12)

Так как переменные , то их исключили из системы, не нарушив при этом равенств. Выражая целевую функцию основной задачичерез небазисные переменныесистемы, получим исходную задачу.

Шаг 5. Если >0, то допустимого решения в исходной задачи не существует – процесс решения исходной задачи завершается.