7 Определение совместности системы через ранг матрицы и решение совместной системы линейных уравнений в векторном виде

Цель: Отработать анализ системы на совместность и научиться в MathCAD решать систему линейных уравнений в матричном виде

Техническое и программное обеспечение: Персональный компьютер, ОС Windows, пакет MathCAD, методические указания

Допуск:

Вариант 5

Определитель основной матрицы системы равен 0. Что это может следовать?

Ответ:

Задание:

Имеется система вида A_ijX=B_i. Требуется определить ранг матрицы, проанализировать ее на совместность. В случае совместности системы решить ее в векторном виде (таблица 7.1).

Таблица 7.1

i=	aij						bi
	j=
	1	2	3	4	5
1	2	-1	0	2	-3	0
2	1	2	4	9	0	-3
3	0	2	-3	-6	9	2
4	4	9	0	-5	1	5
5	4	7	2	1	2	-4

Описание хода выполнения работы:

Описание хода выполнения работы представлено в таблице 7.2.

Таблица 7.2

Вид системы
Основная матрица системы
Расширенная матрица системы
Столбец свободных членов
Ранг основной матрицы	rA=rank(A); rA=5
Ранг расширенной матрицы	rAa=rank(Ar); rAr=5
Вывод о совместности системы	T:=if(rank(A)=rank(Ar),t1,t2); ранги основной и расширенной матрицы одинаковы, следовательно система совместима
Вид функции lsolve
Значения неизвестных	X1=-3.696; X2=4.239; X3=-9.471; X4=3.345; X5=-1.647

Рабочий лист вычислений, который может быть использован для решения системы, представлен на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1

Вывод: В ходе лабораторного занятия было сделано: построение матрицы, определение рангов матрицы, решение системы с помощью функции lsolve, вычисление неизвестных и проверка результатов. На основе этого научилась в MathCAD отображать анализ системы на совместимость и научилась в MathCAD решать систему линейных уравнений в матричном виде.

8 Решение систем линейных уравнений со свободными переменными

Цель: Научиться реализовывать в MathCAD решение систем линейных уравнений со свободными переменными (n-r=1)

Техническое и программное обеспечение: Персональный компьютер, ОС Windows, пакет MathCAD, методические указания

Допуск:

Вариант 3

Когда система уравнений имеет бесконечное множество решений?

Ответ: Когда матрица имеет разное количество строк и столбцов, и матрицы совместны, это когда ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы равны.

Задание:

Имеются основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений, описывающих ограничения ЗЛП (таблица 8.1).

Таблица 8.1

i=	aij						bi
	j=
	1	2	3	4	5	6
1	1	6	1	0	0	1	4
2	2	8	4	-1	2	0	5
3	6	1	0	7	-1	2	7
4	0	1	0	9	3	1	5
5	1	-2	-1	-1	0	4	8

1. Построить матрицы системы

2. Определить, совместна ли система.

3. Если система совместна, найти решение, придав базисной переменной неотрицательное значение.

4. Проверить решение.

5. Проанализировать решение на допустимость ЗЛП. Если решение не является допустимым, изменить значение свободной переменной. Если предыдущий шаг не помогает, нужно в качестве свободной взять другую переменную.

Описание хода выполнения задания:

Описание хода выполнения работы представлено в таблице 8.1.

Таблица 8.1

1	2
Вид системы
Основная матрица системы
Расширенная матрицы системы
Ранг основной матрицы

Продолжение таблицы 8.1

1	2
Ранг расширенной матрицы
Вывод о совместности системы
Количество переменных	6
Имена базисных переменных	x1, x2, x4, x5, x6
Имя свободной переменной, ее значение	x3=1
Значения неизвестных
Вывод о допустимости решения	Решение допустимо в том случае, когда все значения не отрицательные

Рабочий лист вычислений, который может быть использован для решения системы представлен на рисунке 8.1.

Рисунок 8.1

Вывод: В ходе практического занятия была построена матрица системы размерностью 5х6, произведен анализ на совместимость и найдено решение, придав базисной переменной неотрицательное значение

9 Решение систем линейных уравнений со свободными переменными (n-r=2)

Цель: Научиться реализовывать в MathCAD решение систем линейных уравнений со свободными переменными (n-r=2)

Техническое и программное обеспечение: Персональный компьютер, ОС Windows, пакет MathCAD, методические указания

Допуск:

Вариант 5

Каков общий алгоритм решения системы линейных уравнений, если ранг r матрицы меньше, чем количество неизвестных n?

Ответ: Очевидно, что при условии совместности системы, такие системы имеют бесконечное количество решений. Среди этих решений есть допустимые решения и лишь одно - оптимальное. Оптимальное решение – решение, при котором целевая функция ЗЛП имеет свой максимум (минимум).

Задание:

Имеются основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений, описывающих ограничения ЗЛП. Количество неизвестных n больше количества независимых уравнений r: n-r=2. n=6(таблица 9.1)

Таблица 9.1

i=	aij						bi
	j=
	1	2	3	4	5	6
1	1	6	1	0	0	1	4
2	2	8	4	-1	2	0	5
3	6	1	0	7	-1	2	7
4	0	1	0	9	3	1	5

1. Построить матрицы системы

2. Определить, совместна ли система.

3. Если система совместна, найти решение, придав базисной переменной неотрицательное значение.

4. Проверить решение.

5. Проанализировать решение на допустимость ЗЛП. Если решение не является допустимым, изменить значение свободной переменной. Если предыдущий шаг не помогает, нужно в качестве свободной взять другую переменную.

Описание хода выполнения работы:

Описание хода выполнения работы представлено в таблице 9.2.

Таблица 9.2

Вид системы
Основная матрица системы
Расширенная матрицы системы
Ранг основной матрицы
Ранг расширенной матрицы
Вывод о совместности системы
Количество переменных	6
Имена базисных переменных	x1,x2
Имя свободной переменной, ее значение	x3=1.175, x4=0.031, x5=0.066, x6=2.725
Значения неизвестных	x10.1; x2=0.2
Вывод о допустимости решения	Все значения решения не отрицательны, следовательно, решение допустимо

Рабочий лист вычислений, который может быть использован для решения системы представлен на рисунке 9.1.

Рисунок 9.1

Вывод: В ходе практического занятия построила матрицу системы, определила совместимость системы, нашла решение, придав базисной переменной неотрицательное значение, проверила решение и определила допустимость решения ЗЛП. На основе этого научилась реализовывать в MathCAD решение систем линейных уравнений со свободными переменными (n-r=2).