§3. Формулы алгебры логики
Определение
3.1. Пусть
множество
исходных функций. Символы переменных
,
…,
будем считать формулами глубины 0.
Формула F
имеет глубину k+1,
если F
имеет вид
,
где
,
число
аргументов функции
,
формулы, максимальная из глубин которых
равна k.
Все
формулы
называются
подформулами F;
называется внешней или главной операцией
формулы F.
Все подформулы формул
также
называются подформулами F.
Например,
(
,
,
)
это формула глубины 1, а
формула глубины 3, содержащая одну
подформулу глубины 2 и две подформулы
глубины 1.
В
дальнейшем формулы будут иметь более
привычный вид, при котором знаки функций
стоят между аргументами. Например, если
в предыдущем примере
обозначает дизъюнкцию,
конъюнкцию,
сложение по модулю 2, то приведенная
формула имеет вид:
(
)
(
(
))
.
Всякая
формула, выражающая функцию f
как суперпозицию других функций, задает
способ ее вычисления. Этот способ
определяется следующим правилом: формулу
можно вычислить, только если вычислены
значения всех ее подформул. Вычислим
значение предыдущей формулы на наборе
=1,
=1,
=
0. Получим
=1,
=
0,
(
)
= 1
0 = 0, (
)
(
(
))
= 1
0 =1.
Так же как для алгебраических выражений для записи логических формул используют соглашение о приоритете операций. Перечислим приоритет логических операций в порядке его убывания: , , , , . Операции |, имеют тот же приоритет, что и , а тот же приоритет, что и . Таким образом в формуле без скобок сначала выполняется , затем и т.д.
Формула
каждому набору значений аргументов
ставит в соответствие значение функции.
Вычисляя формулу на всех
наборах значений переменных, можно
построить таблицу истинности функции.
Пример 3.1. Составим таблицу истинности для формулы (АВ С).
A |
B |
C |
AB |
ABC |
(ABC) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
В
отличие от табличного задания,
представление функции формулой не
единственно. Например, функцию штрих
Шеффера можно представить формулами:
|
=
и
|
=
(
);
а функцию стрелка Пирса
формулами:
=
и
=
(
).
Определение 3.2. Формула, истинная при всех возможных значениях переменных, называется общезначимой или тавтологией.
Определение 3.3. Формула, ложная при всех возможных значениях переменных, называется невыполнимой или противоречием.
Формулы,
представляющие одну и ту же функцию,
называются эквивалентными или
равносильными. Эквивалентность формул
обозначается знаком равенства =, т.е.
|
=
=
(
).
Для проверки эквивалентности формул
существует стандартный способ: для
каждой формулы строится таблица
истинности, а затем две таблицы
сравниваются. Этот метод требует 2
вычислений для формул от п
переменных. Существуют и другие методы
установления эквивалентности формул
и получения новых формул, эквивалентных
исходной.
Пример
3.2. Проверить
эквивалентность формул
и
.
Составим для этих формул таблицу
истинности.
A |
B |
A B |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Формулы не эквивалентны, так как 3-й и 6-й столбцы таблицы не совпадают.
Пример
3.3. Проверить
эквивалентность формул АВ
и
.
Составим для этих формул таблицы
истинности. Формулы эквивалентны, так
как 3-й и 8-й столбцы таблицы совпадают.
А |
В |
АВ |
|
|
АВ |
|
АВ |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
