52

ФЕДЕРАЛЬНОЕ агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Донской государственный технический университет

Г. и. ВОЛОКИТИН, В.Н.Глушкова, В.В. ларченко, н.т. мишняков

элементы ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ для инженера

Ч.1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Учебное пособие

Ростов-на-Дону

2014

УДК 517.

Б 24

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. Клодина Т.В.

Б 24 Волокитин Г.И., Глушкова В.Н., Ларченко В.В., Мишняков Н.Т.

Элементы дискретной математики для инженера. Ч.1 Математическая логика: учеб. пособие / Волокитин Г.И., Глушкова В.Н., Ларченко В.В., Мишняков Н.Т.. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2014. – 55с.

В учебном пособии излагаются лекции по основам математической логики, которая входит в курс дискретной математики. Приведено большое количество решенных примеров и типовых задач для самостоятельной работы.

Предназначено для студентов второго курса всех технических специальностей

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Донского государственного технического университета

УДК 517

Ó Волокитин Г.И., Глушкова В.Н., Ларченко В.В., Мишняков Н.Т., 2014

Ó издательский центр ДГТУ, 2014

Глава 1 фУнкции алгебры логики

§1. ОсНовные определения

Приведем определение логической функции от n переменных или булевой функции по имени Дж. Буля (1815 – 1864 г.г.). Буль впервые использовал алгебраические методы в логике, развивавшейся до его работ по преимуществу в рамках философии. Рассмотрим двухэлементное множество . Его элементы не являются числами в обычном смысле, 0 интерпретируется как «ложь» (F «false», «нет»), 1 как «истина» (Т «true», «да»). Пусть переменные , 1 i  n, принимают значения из В.

Определение 1.1. Функцией алгебры логики (логической функцией) от n переменных называется функция , принимающая вместе со своими аргументами значения из В.

Логическую функцию от n переменных называют также n-арной операцией на множестве В. Для логической функции одной переменной используют термин  унарная операция, а для функции двух переменных  бинарная операция.

Определение 1.2. Алгебра, образованная множеством В со всевозможными операциями на нем, называется алгеброй логики. Множество В называется основным или несущим множеством (носителем алгебры логики).

Обозначим  множество всех булевых функций f от п переменных. Логическую функцию от п переменных можно задать таблицей истинности (Таблица 1.1). В последнем столбце принимает значения 0 или 1. В таблице наборы значений для расположены по порядку возрастания соответствующих двоичных чисел. Такой порядок является общепринятым и позволяет задать логическую функцию набором её значений f =( , ..., ), где {0,1}, 1 i  m.

Таблица 1.1

, …, ,
0 … 0 0 0 … 0 1 … … … … 1 … 1 1	. .

Например, если = (00010111), то функция зависит от 3 переменных и ей соответствует Таблица 1.2.

Таблица 1. 2

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Для логической функции от п переменных таблица истинности содержит m = строк, соответствующих всем различным комбинациям значений переменных. Количество всех функций от п переменных равно числу различных столбцов таблицы 1.1, соответствующих наборам констант ( , ..., ). Это число совпадает с числом всех строк из 0 и 1 таблицы от m переменных, т.е. равно .

Пример 1.1. Рассмотрим задачу на построение булевой функции. Пусть три цеха , и снабжаются электроэнергией от электростанции, на которой установлены два генератора и , причем генератор обладает большей мощностью чем . Если в энергии нуждается только один из цехов, то достаточно включить генератор , если же в энергии нуждаются одновременно два цеха достаточно генератора . Снабжение энергией трех цехов обеспечивается совместной работой генераторов и . Необходимо описать работу логического устройства, которое бы анализировало заявки на электроэнергию от трех цехов и в зависимости от их потребности перераспределяло нагрузку между генераторами, включая или выключая по мере необходимости любой из них.

Устройство должно иметь три выхода , и , каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: «нуждаюсь в энергии»  1 или «не нуждаюсь в энергии»  0; и также должно иметь два выхода и , через которые включаются (1) или отключаются (0) одноименные генераторы. Создание модели работы устройства состоит в построении логических функций ( , , ) и ( , , ). Построим таблицу истинности для функций , .

Таблица 1.2

0	0	0	0	0	Ни один из цехов не нуждается в энергии, оба генератора выключены
0 0 0 1 1 1	0 1 1 0 0 1	1 0 1 0 1 0	0 0 1 0 1 1	1 1 0 1 0 0	В энергии нуждаются только один или два цеха, включен один из генераторов, а другой выключен.
1	1	1	1	1	В энергии нуждаются три цеха, включены оба генератора

Логическая функция f  существенно зависит от переменной , если существует такой набор значений ,..., , ,…, , что

f( , ..., ,0, ,…, )  f( , ..., ,1, ,…, ).

В этом случае называется существенной переменной, в противном случае называют несущественной (фиктивной) переменной. Если несущественная переменная f, то f ( , ..., ,0, ,…, ) = f ( , ..., ,1, ,…, )

при любых значениях переменных , ..., , ,…, , и изменение значения не меняет значения функции. Т.е. по существу зависит от (п-1)-переменной и представляет собой функцию от (п1)- переменной. В этом случае говорят, что функция g получена из функции f удалением фиктивной переменной, а функция f получена из g введением фиктивной переменной. По определению булевы функции равны, если одна из другой получается введением (или удалением) фиктивных переменных. Смысл удаления фиктивных переменных очевиден, поскольку они не влияют на значения функции и являются с этой точки зрения лишними. Для общности рассуждений иногда полезно вводить фиктивные переменные для получения функций, зависящих от одного и того же количества переменных.

Пример 1. 2. Рассмотрим две функции ( , ), ( , ):

0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 1 1	1 0 1 0

Для функции переменная  существенная, т.к. (0, 0)  (1, 0), а переменная  несущественная: (0, 0) = (0, 1), (1, 0) = (1, 1). Легко убедиться, что для функции переменная  несущественная, а  существенная.