Зведення матриці до діагонального вигляду.

Вважають, що матриця зводиться до діагонального вигляду, якщо існує діагональна матриця, подібна матриці .

Чи будь-яку матрицю можна звести до діагонального вигляду?

Теорема 26. Кожна квадратна матриця го порядку над полем , яка має у полі різних характеристичних коренів, подібна до деякої діагональної матриці, тобто зводиться до діагонального вигляду.

Доведення. Нехай – матриця порядку над полем . Припустимо, що характеристичні корені матриці – різні й містяться в полі .

Знайдемо діагональну матрицю .

Візьмемо деякий - вимірний простір над полем і виберемо в базис . Нехай в базисі оператор задається матрицею . Оскільки, за припущенням, всі характеристичні корені матриці різні й належать до поля , то оператор має простий спектр . Тому за теоремою 25, існує базис , в якому оператор задається діагональною матрицею

.

Матриці і подібні, оскільки вони задають один і той же оператор . Теорему доведено.

Враховуючи зв'язок між матрицями оператора в різних базисах, маємо:

, (33)

де – матриця переходу від базису до базису . В даному базисі рядками матриці будуть координатні рядки власних векторів в базисі . Із (33) одержуємо

(34),

співвідношення, яке називають канонічним або спектральним розкладом матриці . Таким чином матриця оператора простої структури має канонічний (спектральний) розклад.

При побудові матриці для співвідношень (33) і (34) необхідно знайти всі власні значення матриці і для кожного власного значення побудувати фундаментальну систему розв’язків однорідної системи рівнянь ; із розв’язків всіх побудованих ФСР, як із рядків, утворити матрицю . При цьому в матриці рядками записуються розв’язки по кожному в порядку нумерації власних значень (одинакові записуються стільки разів, яка їх кратність; всі можна занумерувати так, що буде ). Якщо матриця стане квадратною, то вона буде задовольняти співвідношення (33) і (34).

Якщо ж матриця стане неквадратною, то співвідношення (33) і (34) для матриці будуть неможливі, тобто матриця не зводиться до діагонального вигляду і не має канонічного розкладу. Цей спосіб рівносильний знаходженню невиродженої матриці із матричного рівняння . Із правила побудови матриці бачимо, що вона буде квадратною лише у випадку, якщо кожне характеристичне число матриці буде її власним значенням і для кожного співпадає його алгебраїчна кратність з геометричною кратністю, тобто з максимальним числом лінійно незалежних власних векторів матриці по , рівних , де - ранг матриці ( ). Тільки в такому випадку оператор з матрицею буде оператором простої структури, а матриця зводиться до діагонального вигляду.