Властивості власних векторів та власних чисел.

1. У дійсному просторі власними числами будуть лише дійсні корені характеристичного рівняння а в комплексному просторі – усі корені рівняння .

2. Якщо всі власні числа матриці різні, то всі її власні вектори лінійно незалежні.

3. Кожному власному вектору відповідає одне власне число.

4. Якщо - власний вектор матриці з власним числом , то будь-який вектор , колінеарний вектору , також є власним вектором матриці з тим самим власним числом.

5. Якщо і - власні вектори матриці з одним і тим самим власним числом , то їхня сума також є власним вектором матриці з тим самим власним числом.

6. Якщо квадратна матриця порядку має різні власні числа, то матриця , рядками якої є власні вектори має обернену матрицю

7. Якщо квадратна матриця порядку має різні власні числа , то матрицю можна звести до діагонального вигляду:

, (32)

який називають канонічною формою Жордана матриці .

Зауваження. Якщо квадратна матриця порядку має кратні власні числа, то кількість власних векторів може бути меншою від . У цьому випадку форма Жордана (32) замінюється складнішою матрицею.

Лінійні оператори з простим спектром.

Серед лінійних операторів найпростіші є ті, які мають простий спектр. Відомо, що власні вектори, яким відповідають попарно різні власні значення лінійного оператора – лінійно незалежні, тобто у просторі існує базис, всі вектори якого власні. Нехай власним векторам відповідають власні значення , тобто , , , . Тоді в базисі оператор задається діагональною матрицею.

Навпаки, якщо в деякому базисі матриця оператора – діагональна.

,

то , тобто всі вектори цього базису є власними векторами оператора .

Отже, справедлива така теорема.

Теорема 23. Якщо вектори базису є власними векторами лінійного оператора , то в базисі оператор задається діагональною матрицею. Навпаки, якщо в деякому базисі матриця оператора є діагональною, то всі вектори цього базису є власними векторами оператора .

Теорема 24. Для того, щоб в лінійному просторі лінійний оператор мав базис із власних векторів, необхідно і достатньо, щоб всі характеристичні числа оператора належали основному полю, і щоб кожному числу відповідало стільки лінійно незалежних власних векторів оператора , яка алгебраїчна кратність кореня характеристичного многочленна оператора .

Для того, щоб матриця була матрицею простої структури, тобто, щоб вона зводилась до діагонального вигляду, необхідно і достатньо, щоб всі характеристичні корені матриці належали основному полю і щоб для кожного кореня його геометрична кратність ( - ранг матриці ) співпадала з алгебраїчною кратністю , тобто з кратністю кореня характеристичного многочлена матриці .

Теорема 25. Якщо лінійний оператор має простий спектр, то існує базис простору , в якому цей оператор задається діагональною матрицею.

Геометричне тлумачення оператора з простим спектром.

Кожний вектор вибраного базису визначає одновимірний інваріантний підпростір , який природно розглядати як координатну вісь простору . Дію оператора на вектори осі можна характеризувати як «розтяг у разів» ( - власне значення, яке відповідає вектору ).

Довільний елемент є сума векторів , тобто розкладається по згаданих осях. Тому, для того, щоб дістати образ цього елемента, досить кожний складовий вектор розтягнути у разів: .