Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Лінійні оператори з простим спектром.

Повна лінійна група

Розглянемо множину всіх невироджений лінійних операторів простору .

Якщо і – невироджені лінійні оператори, то і лінійний оператор також невироджений. Дійсно, якщо і матриці операторів і· в деякому базисі , то є матриця оператора в базисі . Оскільки матриці і неособливі, то й матриця також неособлива. Тому оператор – невироджений. . В множині визначена операція множення. Ця операція асоціативна, оскільки .

В міститься E, оскільки він невироджений , оскільки - невироджений.

Отже, множина всіх невироджених лінійних операторів простору над полем є мультиплікативна група. Її називають повною лінійною групою степеня над полем і позначають .

Теорема 20. Повна лінійна група ізоморфна мультиплікативній групі всіх невироджених матриць го порядку над полем .

Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

Нехай – підпростір лінійного простору , а – лінійний оператор в . Образ підпростору відносно оператора може й не міститися в .

Означення 15. Підпростір лінійного простору називається інваріантним відносно оператора , якщо , тобто якщо образ будь-якого вектора міститься в .

Разом з вектором підпростір утримує і його образ.

Особливий інтерес становлять підпростори, які оператором відображаються самі в себе.

Н ехай – довільний векторний простір і – його одновимірний підпростір; – лінійний оператор простору . Одновимірний підпростір породжується будь-яким своїм ненульовим вектором. Отже, – сукупність векторів виду: . З геометричної точки зору – це пряма.

Якщо підпростір інваріантний відносно оператора , то , тобто , де . (20)

Із (20) , що колінеарний .

Означення 16. Вектор , що задовольняє співвідношення , де, називається власним вектором оператора , а число – власним значенням оператора , що відповідає власному вектору .

Інакше кажучи, називається власним вектором оператора , якщо оператор переводить вектор в колінеарний (пропорційний) йому вектор: .

Висновок. Для відшукання інваріантних відносно лінійного оператора одновимірних підпросторів достатньо вміти знаходити власні вектори лінійного оператора простору .

Існують, звичайно, лінійні оператори, для яких немає жодного власного вектора.

Теорема 21. Власні вектори лінійного оператора , яким відповідають попарно різні власні значення утворюють лінійно незалежну систему.

Характеристичне рівняння лінійного оператора

Нехай - довільний векторний простір, , . В лінійний оператор визначається матрицею , , – одинична матриця і - деяке невідоме.

Означення 17. Матриця виду називається характеристичною матрицю для , тобто матриця виду:

, (23)

а називається характеристичним многочленом матриці , корені якого називаються характеристичними коренями цієї матриці: – характеристичне рівняння матриці .

Визначник матриці є многочленом го степеня від . (Корені цього многочлена можуть бути як дійсними так і комплексними).

Так як матриці лінійного оператора в різних базисах подібні, а визначники подібних матриць рівні між собою, то характеристичні рівняння, а отже і характеристичні корені лінійного оператора однакові.

Означення 18. Сукупність характеристичних коренів лінійного оператора з врахуванням їх кратності називається спектром лінійного оператора . Якщо всі характеристичні корені лінійного оператора різні, то спектр називають простим.

Максимальне число лінійно незалежних розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь з невідомими дорівнює дефекту матриці цієї системи.

Теорема 22. Для того, щоб число з поля було власним значенням лінійного оператора , необхідно і достатньо, щоб воно було характеристичним коренем цього оператора.

Висновок. Кожен власний вектор оператора , якому відповідає власне значення цього оператора, є розв’язком системи лінійних однорідних рівнянь (29), і навпаки, кожен відмінний від нульового розв’язок ) системи (29) є власним вектором оператора , якому відповідає власне значення .