Задание 5

1		13
2		14
3		15
4		16
5		17
6		18
7		19
8		20
9		21
10		22
11		23
12		24

Разберем типичные примеры.

1. =I₁.

Используем универсальную тригонометрическую подстановку:

, тогда с учетом формул тригонометрии

получим:

Так как из универсальной тригонометрической подстановки следует, что x=2arctgt, то .

Итак,

Возвращаясь к УТП, получим:

2. Особого внимания заслуживает случай, когда cosx и sinx под знаком интеграла содержатся в четной степени.

В таких случаях используем формулы понижения порядка:

2sinxcosx=sin2x.

Итак,

В случае sin2x и cos2x универсальная тригонометрическая подстановка имеет вид:

t=tgx, тогда

Значит,

Возвращаясь к УТП, получим:

Задание 6

Вычислить интегралы:

1		13
2		14
3		15
4		16
5		17
6		18
7		19
8		20
9		21
10		22
11		23
12		24

Примеры

1. 

Возвращаемся к исходной переменной:

Получаем ответ:

2. 

Замечание. Для возвращения к исходной переменной можно использовать формулы тригонометрии:

Получаем:

Задание 7

А. Вычислить площадь, ограниченную заданными кривыми.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

Б. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

В. Найти длины дуг линий, заданных указанным способом.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32