Тема 8.4. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.
Самостоятельная работа. Изображение фигур в стереометрии при параллельном проектировании, изучение неевклидовой геометрии. Написать конспект.
Тема 9.1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.
Конспект «Изучение сведений из истории (происхождение терминов и обозначений, история развития прямоугольной системы координат)».
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2
Пример 1.
Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).
Решение.
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 = √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 = √72 + 12 = √50 = 5√2
Ответ: AB = 5√2.
Пример 2.
Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).
Решение.
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2 = = √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 + (-2 - 3)2 = √72 + 12 + 52 = √75 = 5√3
Ответ: AB = 5√3.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
Если прямая проходит через две точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), такие что
x1
≠ x2,
y1
≠ y2
и z1
≠z2
то уравнение
прямой
можно найти используя следующую формулу
Типовое решение задач.
Напишите
уравнение прямой, которая в прямоугольной
системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве проходит
через две точки
и
.
РешениеМы
выяснили, что в прямоугольной системе
координат Oxyz
в трехмерном пространстве канонические
уравнения прямой, которая проходит
через две точки
и
,
имеют вид
.
Из
условия имеем
,
тогда искомые уравнения прямой запишутся
как
.
нахождения
уравнения плоскости, проходящей через
три заданные точки
.
Очевидно,
что множество точек
определяет
в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве плоскость,
проходящую через три различные и не
лежащие на одной прямой точки
,
тогда и только тогда, когда три вектора
и
компланарны.
Следовательно,
должно выполняться условие
компланарности трех векторов
и
,
то есть, смешанное
произведение векторов
должно
быть равно нулю:
.
Это равенство в координатной форме
имеет вид
.
Оно, после вычисления определителя,
представляет собой общее уравнение
плоскости, проходящей через три заданные
точки
.
Задачи на самостоятельное решение.
Даны точки A(1; -2; -3), B(2; -3; 0), C(3; 1; -9), D(-1; 1; -12). Вычислить расстояние между 1). А и С, 2). B и D, 3). C и D. |
Даны вершины M1(3; 2; -5), M2(1; -4; 3), M3(-3; 0; 1) треугольника. Найти середины его сторон.
Даны вершины A(2; -1; 4). B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.
Доказать, что треугольник с вершинами A(3; -1; 2), B(0; -;2), C(-3; 2; 1) равнобедренный. Доказать, что треугольник с вершинами A1(3; -1; 6), A2(-1; 7; -2), A3(1; -3; 2) прямоугольный. |
|
|
|
|
|