Тема 8.2. Прямые и плоскости в пространстве.

Конспект на тему «Геометрии Евклида»

Методические рекомендации по составлению конспекта.

1. Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные данные на поля конспекта;

2. Выделите главное, составьте план;

3. Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте аргументацию автора;

4. Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи следует вести четко, ясно.

5. Грамотно записывайте цитаты. Цитируя, учитывайте лаконичность, значимость мысли.

В тексте конспекта желательно приводить не только тезисные положения, но и их доказательства. При оформлении конспекта необходимо стремиться к емкости каждого предложения. Мысли автора книги следует излагать кратко, заботясь о стиле и выразительности написанного. Число дополнительных элементов конспекта должно быть логически обоснованным, записи должны распределяться в определенной последовательности, отвечающей логической структуре произведения. Для уточнения и дополнения необходимо оставлять поля.

Овладение навыками конспектирования требует от студента целеустремленности, повседневной самостоятельной работы.

Типовое решение задач на прямые и плоскости в пространстве.

1. Треугольник CDE-равнобедренный, СD=DE=40 см, угол С=60º. Плоскость а проходит через сторону CD, причём сторона СЕ образует с плоскостью а угол 30º. Найдите расстояние от точки Е до плоскости а.

Решение.

В 3-ке СDE:  СD=DE=40 см, угол С= углу E =60º. Тогда угол D=60°.  3-к равносторонний. СЕ=40.  

Опустим перпендикуляр ЕО на плоскость. 3-к ЕОС-прямоугольный.  Угол ЕСО=30° (между наклонной и её проекцией).  ЕО=0,5*СЕ = 20 (катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы).

2. . Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 40,

AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

Решение.

Обозначим ребра 2х, 2х, 4х.

2х+2х+4х =40

8х=40   х=5

Ребра 10,10 и 20.

Грани имеют размеры 10х10 или 10х20.

Диагональ грани 10х10:   d1=√(10²+10²) = √200=10√2

Диагональ грани 10х20:   d2=√(10² +20²) = √500=10√5 - наибольшая диагональ .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 120 см. НАйти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

2. Треугольник АВС- прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника, расстояние от точки М до прямой АВ равно 5 см. Найдите длину отрезка СМ.

3. Треугольник АВС - прямоугольный, угол С=90 градусов. Точка D, лежащая вне плоскости треугольника, равноудалена от вершин треугольника АВС на 8 см. Найдите расстояние от точки D до плоскость АВС, если АС=12см и угол ВАС=30 градусов.

4. У правильной четырехугольной пирамиды ребро основания равно 8√2 см, а высота пирамиды равна 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

5. Стороны прямоугольника 3 см и 9 см. Меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости A, а его диагональ образует с плоскостью угол 60 градусов. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью A.