Тема 8.1. Геометрия на плоскости.
Каждый
треугольник имеет три высоты. Высоту,
проведенную из вершины
на
сторону
,
принято обозначать
.
Высоты треугольников или их продолжение
пересекается в одной точке. В остроугольном
треугольнике
точка
пересечения
высот находится внутри треугольника;
в прямоугольном
- в вершине прямого угла (совпадает с
точкой
);
в тупоугольном треугольнике - за пределами
треугольника. Точка пересечения высот
или их продолжений называется ортоцентром.
Задание.
В треугольнике
сторона
мм,
.
Найти высоту, опущенную на сторону
.
Решение.
Обозначим искомую высоту
.
Для нахождения высоты воспользуемся формулой
которая в наших обозначениях запишется следующим образом:
Подставим в последнее равенство исходные данные, получим
(мм)
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Как построить медиану треугольника?
Чтобы построить медиану треугольника, надо:
1) С помощью линейки найти и отметить середину стороны треугольника.
2) Соединить полученную точку с вершиной, лежащей напротив этой стороны.
Рисунок медианы треугольника:
Как построить медиану треугольника с помощью циркуля и линейки без шкалы, мы рассмотрим позже, в теме «Построить треугольник».
Сколько медиан имеет треугольник?
Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три. Значит, треугольник имеет три медианы.
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке:
Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.
Биссектрисой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину с противоположной стороной и делит соответствующий угол пополам.
Каждый треугольник имеет три биссектрисы.
На
рисунке 1 в треугольнике
:
-
биссектриса угла
,
-
биссектриса угла
,
-
биссектриса угла
.
Биссектрисы пересекаются в одной точке
(на рисунке 1 точка
),
которая лежит в середине треугольника
и называется инцентром.
Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные к прилегающим сторонам:
Задание.
В треугольнике
:
-
биссектриса, сторона
см,
см,
отрезок
см.
Найти длину отрезка
.
Решение. По свойству биссектрисы
Подставляя в это равенство исходные данные, получим
(см)
Ответ.
см
Задачи на самостоятельное решение.
В прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу в отношении 3 : 2, а высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 20 больше другого. Найти площадь треугольника.
Стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найти значение выражения (6 + 2√5)1/2 · sin α, где α – меньший угол треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 24√2 и 7√2. Найти расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окружности.
Площадь прямоугольного треугольника равна 6√3. Найти его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой угол в отношении 1 : 2.
Стороны треугольника равны √5; 2; 3. Найти квадрат расстояния от вершины меньшего угла треугольника до точки пересечения его биссектрис.
В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведенных из вершин острых углов, равны √34 и √11. Найти длину гипотенузы.