5. Розподіл Пуассона

Емпіричний розподіл дискретної випадкової величини заданий у виді статистичного ряду. Для заданого рівня значущості за допомогою критерію перевірку гіпотези про те, що випадкова величина має розподіл Пуассона, проводять за схемою:

1. Обчислюємо .

2. Оцінка параметра рівна .

3. Теоретичні частоти , n – об’єм вибірки, P_i знаходять за формулою Пуассона , або за таблицею 3 у додатку.

4. Критична область , де - точкова оцінка випадкової величини (4.8), знаходять за таблицею 5 у додатку.

Приклад 4.4. Нехай проведено дослідження про відмову в роботі деякої апаратури за 10000 год. Отримані результати представляються у вигляді такої таблиці частот:

xi	0	1	2	3	4	5	6 (4.11)
	427	235	72	21	1	1	0

де x_i - число відмов, а - частота цього числа. Перевірити гіпотезу про те, що число відмов має розподіл Пуассона, якщо рівень значущості =0,01.

Розв’язок. Згідно умови задачі необхідно перевірити наступну гіпотезу:

. (4.12)

Методом максимальної правдоподібності ми отримали, що точкова оцінка  дорівнює вибірковому середньому . Для даної вибірки знайдемо, що

отже, оцінка .

Для даного і m=0, 1, 2, 3, 4, 5 за таблицею 3 у додатку для розподілу Пуассона отримаємо теоретичні ймовірності

p₀=P(=0)=0,54; p₁=P(=1)=0,33; p₂=P(=2)=0,1; p₃=P(=3)=0,02; p₄=P(=4)=0,002; p₅=P(=5)=0.

Звідси, на основі співвідношення =np_i, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 визначимо теоретичні частоти: =416, =249, =75, =17, =2, =0.

Зауважимо, що не зменшуючи загальності викладу, ми вдалися до заокруглень величин p_i і . Тепер, використовуючи формулу (4.8), на основі заданої таблиці частот і знайдених теоретичних частот, знайдемо точкову оцінку . Будемо мати:

За таблицею 5 у додатку для ² - розподілу для =0,01 і числа ступенів свободи k=l-1-m=5-1-1=3 розв’яжемо рівняння (4.9). Отримаємо, що t_;k=²_0,01;3=9,5.

Оскільки , то згідно з критерієм ², який сформульований у зауваженні 4.2, дана гіпотеза (4.12) може бути прийнятою.

6. Біноміальний розподіл

Проведено n дослідів, кожний з яких складається з m незалежних випробувань з однаковою ймовірністю появи події А. Емпіричний закон розподілу дискретної випадкової величини =(число появ події А) задається у вигляді статистичного ряду

xi	0	1	2	…	l .
ki	k0	k1	k2		kl

Для заданого рівня значущості за допомогою критерію перевірку гіпотези про те, що випадкова величина має біноміальний розподіл проводять за схемою:

1. Теоретичні частоти , n – число дослідів, P_i – ймовірність появи i подій A в m випробуваннях , знаходять за формулою Бернуллі .( табл.15 у додатку)

2. Критична область , де - точкова оцінка випадкової величини (4.8), знаходять за таблицею 5 у додатку.

Зауваження 4.6. Якщо ймовірність появи події A в кожному випробуванні не задана, то її оцінюють відносною частотою або методом максимальної правдоподібності за формулою . Тоді число ступенів вільності k=l-2 і замість потрібно шукати .

Приклад 4.5. Серед 193 дводітних сімей, які проживають на території даної сільської ради, 45 мають двох хлопчиків, 53 – двоє дівчаток, у 95 – діти різної статі. Чи можна вважати, що кількість дівчаток у сім’ї, яка має двох дітей, є біноміально розподіленою випадковою величиною? Взяти .

Розв’язок. Випадкова величина ={кількість дівчаток у дводітній сім’ї} набуває значень 0, 1, 2. Параметр p гіпотетичного розподілу невідомий. Оцінимо його за вибіркою . Тоді , , .

Теоретичні частоти знайдемо за формулою :

Тоді .

За таблицею 5 у додатку . Оскільки 0,038<3,84, то згідно з критерієм гіпотеза про біноміальний розподіл випадкової величини не відхиляється.