4.1. Означення статистичної гіпотези. Приклади

Одним з найважливіших і найцікавіших, з професійної точки зору, методом статистичного дослідження властивостей (ознак) генеральної сукупності на основі вибірки у математичній статистиці є метод статистичних гіпотез. Універсальність цього методу полягає в тому, що він дозволяє проводити статистичні дослідження розподілів випадкових величин генеральної сукупності, будувати їх , та знаходити точкові оцінки параметрів цих розподілів.

Означення 4.1. Статистичною гіпотезою називають будь-яке твердження про властивості (ознаки) генеральної сукупності, що перевіряється на основі вибірки. Будемо статистичну гіпотезу позначати через H_0.

Її називають нульовою гіпотезою. Поряд із нульовою гіпотезою Н₀ розглядають одну із альтернативних (конкуруючих) гіпотез Н₁, яка містить відмінне від змісту гіпотези Н₀ твердження про ту саму властивість випадкової величини (ознаки)  в генеральній сукупності. Вибір альтернативної гіпотези визначається умовою задачі, яка розглядається.

Приклади конкретних гіпотез.

І. Гіпотеза про розподіл – це твердження про те, що випадкова величина (ознака)  генеральної сукупності, що досліджується, має цей чи інший закон розподілу, функцію розподілу F_(x) або густину ймовірності f_(x). Математично це записується так:

H₀:F_(x)=g(x), (4.1)

де g(x) - відома функція.

Якщо розподіл випадкової величини  даною гіпотезою задається повністю, то вона називається простою. Вираз (4.1) означає просту гіпотезу. Складною гіпотеза про розподіл називається тоді, коли закон розподілу, функція розподілу або густина ймовірності випадкової величини задається нею з точністю до невідомих параметрів. Наприклад, гіпотеза

є складною гіпотезою, оскільки невідомими після даного твердження залишаються параметри а і .

2. Гіпотеза про незалежність – це твердження про те, що дві випадкові величини (ознаки)  і  в генеральній сукупності є незалежними. Математично вона запишеться як:H₀: P(=x_i,=y_j)=P(=x_i)P(=y_j), i= та j= .

3. Параметрична гіпотеза – це твердження про те, що деякі параметри розподілу випадкової величини  в генеральній сукупності приймають ті чи інші значення.

Для ілюстрації означення 4.1 ми привели лише три гіпотези. Насправді, їх існує набагато більше.

Відомо, що аксіомою (гіпотезою) називають твердження, яке приймається без доведення. Але слід зауважити, що перед тим, як була прийнята така точка зору, кожна з математичних гіпотез була, як правило, багато разів перевірена на практиці. Тому і будь-яку статистичну гіпотезу необхідно перевірити на практиці з допомогою проведеної вибірки. А вже після цього прийняти рішення про її справедливість. Для цього необхідно побудувати певні критерії узгодження даних, які містяться в гіпотезі, з тими результатами, які отримують при статистичній обробці вибірки. Методику побудови такого типу критеріїв в загальному випадку розглянемо в наступному пункті. Але перед тим домовимося, що інформацію, яка міститься в гіпотезі, будемо називати теоретичною, на відміну від інформації, отриманої на основі вибірки, яку ми назвали емпіричною.