4.3. Перевірка гіпотез про розподіл за допомогою критерію

1. Критерій

Нехай, досліджуючи деяку випадкову величину (ознаку)  в генеральній сукупності, отримали вибірку і прийняли таку (просту) гіпотезу про її розподіл:

H₀:F_(x)=g(x), (4.5)

де g(x) – відома функція. Необхідно для даної гіпотези побудувати критерій узгодження.

Згідно із загальною схемою перевірки статистичних гіпотез, яка наведена у попередньому параграфі, першим її етапом є знаходження випадкової величини (статистики) =(₁, ₂, ..., _n). Для цього проаналізуємо емпіричні і теоретичні дані.

Вважатимемо, що ми провели статистичну обробку заданої вибірки (x₁, x₂, ..., x_n) згідно з методикою і отримали інтервальну таблицю частот типу

[zi-1,zi)	[z0,z1)	[z1,z2)	. . . . .	[ (4.6) , zl-1,zl]
			. . . . .

де - будемо називати також емпіричними частотами. Нагадаємо, що .

Нами уже підкреслювалось, що інтервальна таблиця частот (4.6) або відповідна інтервальна таблиця відносних частот представляють емпіричний закон розподілу випадкової величини , що досліджується в генеральній сукупності. Зокрема, на основі цих таблиць можна знайти емпіричну функцію розподілу .З іншого боку, виходячи зі змісту прийнятої гіпотези (4.5), можна зробити висновок, що після її прийняття повністю відомий розподіл випадкової величини , що досліджується. А отже, можемо знайти і, так звані, теоретичні частоти , які означають, скільки елементів вибірки попало би в інтервал [z_i-1, z_i), якби функція розподілу F_(x) випадкової величини  співпадала з функцією розподілу означеною в гіпотезі H₀.

Насправді, скориставшись формулою , на основі гіпотези H₀ знайдемо ймовірності p_i попадання даної випадкової величини  в інтервал [z_i-1, z_i). Будемо мати:

....... ,

Звідси, на основі статистичного означення ймовірності для теоретичних частот дістанемо, що =np_i, i=1, 2, ..., l. Це дає можливість побудувати теоретичний закон розподілу у вигляді наступної інтервальної таблиці:

[zi-1,zi)	[z0,z1)	[z1,z2)	. . .	[ (4.7) zl-1,zl]
			. . .

де теоретичні частоти також задовольняють умову .

За міру відхилення теоретичного розподілу (4.7) від емпіричного (4.6.) вибирають таку випадкову величину (статистику):

. (4.8)

Найважливіше є те, що для випадкової величини (4.8) відомий розподіл, який знайдений К.Пірсоном. А саме, справедлива теорема, яку ми наводимо без доведення.

Теорема 4.1. Якщо 0<p_i<1, i=1, 2, ..., l, то асимптотично (при ) випадкова величина  (4.8) має ² - розподіл з k=l-1 ступенями свободи.

Саме цей факт дозволяє збудувати критерій узгодження гіпотези H₀ для даного випадку. Дійсно, вибравши критичну область W_ у виді ( > t_;k) і, задаючись рівнем значущості , умову (4.2) можна записати у вигляді:

P( > t_;k)=. (4.9)

Випадкова величина  згідно теореми 4.1 має ² - розподіл. Розв’язавши рівняння (4.9), і знаючи  і k=l-1- число ступенів свободи, за таблицею 5 у додатку для даного розподілу отримаємо, що t_;k=²_;l-1.

Таким чином, ми знайшли, що у даному випадку критична область буде мати вигляд: W_=( > ²_;l-1). Це дозволяє сформулювати шуканий критерій узгодження.

А саме, нехай , обчислена за формулою (4.8) на основі таблиць (4.7) і (4.6), точкова оцінка випадкової величини . Тоді:

1. Якщо , то гіпотеза H₀ відхиляється;

2. Якщо ж , то гіпотеза H₀ приймається.

Даний критерій узгодження називають критерієм ² або критерієм Пірсона.

Зауваження 4.2. Розглянемо випадок складної гіпотези про розподіл:

H₀:F_(x)=g(x,₁,...,_m), (4.10)

тобто, приймаємо, що розподіл випадкової величини (ознаки)  в генеральній сукупності відомий з точністю до значень невідомих параметрів (₁, ₂, .., _m), точкові оцінки яких можна знайти, наприклад, методом максимальної правдоподібності або методом моментів. Побудова критерію узгодження для даної задачі проводиться аналогічно, як і в попередньому випадку, оскільки випадкова величина  (4.8) у даному випадку, як показано, наприклад, в [6], також при має ² -розподіл, але з k=l-1–m числом ступенів свободи, де m – число невідомих параметрів. Отже, критична область W_=(>t_;k) також визначається розв’язуванням рівняння (4.9) для заданого рівня значущості  і числа ступенів свободи k=l-1-m. Отримаємо розв’язок t_,k=²_;l-1-m. Тому критерій ² для даного випадку сформулюється таким чином.

Нехай , обчислена за формулою (4.8) на основі таблиць (4.6) і (4.7), - точкова оцінка випадкової величини . Тоді:

1. Якщо , то гіпотеза H₀ відхиляється;

2. Якщо , то гіпотеза H₀ приймається.

Критерієм ² можна користуватися, коли n – об’єм вибірки та p_i, – ймовірності потрапляння вибіркових значень в і-ий інтервал, обчислені за гіпотетичним розподілом є такі, що . Поділ інтервалу вибіркових значень здійснюють, взагалі кажучи, довільно, але кількість інтервалів намагаються взяти якомога більше, дотримуючись при цьому вимоги . Якщо при цьому поділі для деяких інтервалів значення , то такі інтервали слід об’єднати з іншими, так щоб для нових інтервалів , або щоб вони містили принаймні по 10 вибіркових значень. Якщо вибіркових значень так мало, що цього зробити не можна, то застосовувати критерій ² із використанням таблиць ² – розподілу не рекомендується.

В цьому випадку для визначення близькості емпіричного розподілу, наприклад, до нормального користуються числами Вестергарда: 0,3; 0,7; 1,1; 3.

Вважається, що емпіричний розподіл є нормальним, якщо:

1. на інтервалі міститься всієї сукупності;

2. на інтервалі міститься всієї сукупності;

3. на інтервалі міститься всієї сукупності;

4. на інтервалі міститься 0,998 всієї сукупності.

Зауваження 4.3. Недоліком даного методу перевірки гіпотез про розподіл є те, що при побудові інтервальної таблиці частот втрачається деяка частина інформації. Крім цього, залишається відкритим питання про вибір числа інтервалів l і їх довжини. При перевірці гіпотези про розподіл даним методом контролюється лише похибка першого роду. Однак, критерій ² має і деякі переваги: а) при його застосуванні нема необхідності враховувати точні значення вибіркових спостережень; б) він універсальний стосовно природи випадкової величини (ознаки), що досліджується.