2. Нормальний розподіл

а) емпіричний розподіл заданий у виді рівновіддалених варіант.

Для заданого рівня значущості  перевірку гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної сукупності проводять за схемою:

1. Обчислюємо вибіркове середнє і вибіркове середнє квадратичне відхилення .

2. Теоретичні частоти обчислюємо за формулою , де n – об’єм вибірки, h – різниця між двома сусідніми варіантами (крок), , .

3. Критична область , де – точкова оцінка випадкової величини , – критична точка правосторонньої критичної області, яку для заданого рівня значущості  і числа ступенів свободи знаходять за таблицею 5 у додатку.

Зауваження 4.4. Якщо в окремих розрядах емпіричні частоти малочисельні (k_i < 10), то їх об’єднують, а відповідні їм емпіричні та теоретичні частоти додають. Тоді при обчисленні число ступенів свободи l дорівнює числу розрядів вибірки, які залишились після об’єднання.

Зауваження 4.5. Для контролю за правильністю обчислень користуються рівністю

.

б) емпіричний розподіл заданий у виді послідовності інтервалів (x_i, x_i+1) і відповідних їм частот .

Нехай рівень значущості  задано. Тоді:

1. Обчислюємо і , причому .

2. Переходимо до випадкової величини і шукаємо кінці інтервалів за формулами , , причому найменше z покладаємо рівним -, а найбільше +.

3. Теоретичні частоти обчислюємо за формулою , де n – об’єм вибірки, – ймовірності попадання випадкової величини  в інтервал (x_i, x_i+1), .

4. Критична область визначається аналогічно до пункту а).

Тут і надалі (п.п. 2, 3, 4, 5) слід враховувати також зауваження 4.6 і 4.7.

Приклад 4.1. Групування споживчих товариств (СТ) за величиною роздрібного товарообігу дало наступні результати:

Групи СТ (тис. грн.)	[zi, zi+1)	[0 – 100)	[100 – 200)	[200 – 300)	[300 – 400)	[400 – 500]
Кількість СТ		26	102	48	16	6

Для рівня значущості =0,05 перевірити гіпотезу про нормальність розподілу генеральної сукупності.

Розв’язок. Перейдемо від інтервальної таблиці частот до статистичного ряду з рівновіддаленими варіантами, поклавши :

	50	150	250	350	450
	26	102	48	16	6

Для нього = 186,36, = 115,87.

Обчислюємо теоретичні частоти . Для цього складаємо розрахункову таблицю 4.1.

Таблиця 4.1

i	xi	xi+1
1	0	100	-186,36	-86,36	-	-0,7453	-0,5	-0,27337	0,22663	44,83
2	100	200	-86,36	13,64	-0,7453	0,1177	-0,27337	0,04776	0,32113	63,58
3	200	300	13,64	113,64	0,1177	0,9808	0,04776	0,33648	0,28872	57,17
4	300	400	113,64	213,64	0,9808	1,8438	0,33648	0,46712	0,13064	25,87
5	400	500	213,64	313,64	1,8438	+	0,46712	0,5	0,03288	6,51
									1	197,96

Порівняємо емпіричні і теоретичні частоти і проведемо контроль обчислень (зауваження 4.7). Складемо таблицю 4.2.

Таблиця 4.2

i
1	26	44,83	7,9	15,079
2	102	63,58	23,22	163,636
3	48	57,17	1,47	40,301
4	16	25,87	3,77	9,896
5	6	6,51	0,004	5,530
			36,364	234,442

.

Оскільки незначна різниця між 36,442 і 36,364 зумовлена заокругленнями при проведенні обчислень, то можемо вважати, що вони проведені вірно. З таблиці 5 у додатку знаходимо, що . Враховуючи, що 36,364 > 5,99, то гіпотеза про нормальність розподілу відхиляється. Це означає, що дані досліджень не узгоджуються з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.