4.2. Критерії узгодження

Нехай при статистичному дослідженні даної випадкової величини (ознаки)  в генеральній сукупності провели вибірку (x₁, x₂, ..., x_n) і, виходячи з результатів попередньої вибірки або з інших міркувань, прийняли гіпотезу H₀ про одну з її характеристик (про розподіл  або про його параметри). Необхідно на основі вибірки (x₁, x₂, ..., x_n) знайти правило, з допомогою якого можна вирішувати питання про відповідність гіпотези H₀ отриманим статистичним даним.

Означення 4.2. Правило, за яким приймається рішення прийняти або відхилити гіпотезу H₀, називається критерієм узгодження.

Розглянемо принцип побудови критерію узгодження в загальному випадку.

Найважливішою при вирішенні даної задачі є проблема знаходження для вибірки (₁, ₂, ..., _n) випадкової величини (статистики) =(₁, ₂, ..., _n), котра виражала б міру відхилення теоретичних (отриманих на основі прийняття гіпотези) даних від емпіричних, які отримані на основі вибірки.

Допустимо, що таку випадкову величину (статистику) =(₁, ₂, ..., _n) знайдено, а область W - множина можливих значень даної випадкової величини. Далі фіксується деяка мала ймовірність  (<0,1), яка називається рівнем значущості, а область W_ визначається умовою:

P(W_) . (4.2)

Іншими словами, W_ представляє собою таку область, що ймовірність попадання випадкової величини  в W_ не більша від рівня значущості . Область W_ називається критичною областю. Її знаходять для заданого , знаючи випадкову величину , з умови (4.2). Як правило, в практичних застосуваннях критична область W_ представляє собою інтервал виду W_=( >t_). Область W\W_ називають областю прийняття гіпотези H₀.

Точка t_ , яка відділяє критичну область W_ від області прийняття гіпотези W\W_ , називається критичною точкою.

Як правило, в практичних застосуваннях розглядають два типи критичних областей W_: а) одностороння (лівостороння або правостороння); б) двостороння.

Лівосторонньою називають критичну область W_=( <t_), t_<0, причому критична точка t_ визначається з умови P( <t_)= .

Правосторонньою називають критичну область W_=( >t_), t_>0, причому критична точка t_ визначається з умови P( >t_)= .

Двосторонньою називають критичну область W_=( <t ,  >t ), t >t , причому критичні точки t , t визначаються з умови P( <t )+P( >t )= .

Зокрема, якщо t і t симетричні відносно нуля, то W_=( >t_), t_>0, причому t_ визначається з умови P( <-t_)=P( >t_)= .

Якщо рівень значущості  визначає “розмір” критичної області W_, то положення критичної області на множині значень статистики  залежить від формулювання альтернативної гіпотези Н₁.

Наприклад, якщо перевіряється гіпотеза H₀: , а альтернативна гіпотеза Н₁: , то критична область розміщується на правому (лівому) “хвості” розподілу статистики , тобто є правосторонньою (лівосторонньою) критичною областю.

Якщо альтернативна гіпотеза Н₁: , то критична область розміщується на обох “хвостах” розподілу статистики , тобто є двосторонньою.

Таким чином, шуканий критерій узгодження формулюється так:

1. Якщо точкова оцінка , обчислена на основі вибірки , попадає в критичну область W_( W_), то гіпотезу H₀ відхиляють.

2. Якщо ж значення попадає в область прийняття гіпотези W\W_( W\W_), то гіпотезу H₀ приймають.

Отже, для перевірки статистичної гіпотези на практиці необхідно:

1. Для висунутої у задачі гіпотези H₀ і на основі вибірки знайти випадкову величину (статистику) =(₁, ₂, ..., _n).

2. З умови (4.2) для заданого рівня значущості  визначити критичну область W_.

3. Для даної вибірки отримати точкову оцінку .

4. На основі сформульованого вище критерію узгодження прийняти рішення.

Зауваження 4.1. Рішення, яке приймається на основі критерію узгодження, може бути помилковим. Нехай точкова оцінка попадає в критичну область W_ і гіпотеза H₀ відхиляється у відповідності з критерієм. Якщо ж гіпотеза H₀ все-таки вірна, то прийняте рішення помилкове. Помилка, яка здійснюється при відхиленні правильної гіпотези H₀, називається помилкою першого роду. Ймовірність помилки першого роду дорівнює ймовірності попадання випадкової величини  в критичну область W_ при умові, що справедлива гіпотеза H₀, тобто дорівнює рівню значущості . Помилка другого роду  наступає в тому випадку, якщо гіпотеза H₀ приймається, але, насправді, вона невірна. Простіше можна сказати, що при великій кількості вибірок частка помилкових рішень дорівнює , якщо гіпотеза H₀ вірна, і , якщо вона невірна. На практиці при проведенні конкретних досліджень необхідно контролювати величини обох помилок як , так і . З цією метою розглядають альтернативну гіпотезу H₁. Тоді рівняння, які визначають величини помилок першого і другого роду, запишуться у виді:

P(W_|H₀)=, (4.3)

P(W\W_|H₀)=, (4.4)

відповідно. Ймовірності в лівих частинах рівнянь розуміють як умовні ймовірності. Як доводиться у математичній статистиці, при заданому об’ємі вибірки відповідний вибір критичної області W_ дозволяє зробити як завгодно малою або помилку  , або помилку .

Величину 1- називають надійністю критерію. Надійність критерію є ймовірністю того, що нульова гіпотеза буде прийнятою, якщо хибна альтернативна.

Величину 1- називають потужністю критерію. Потужність критерію є ймовірністю того, що нульова гіпотеза буде відкинута, якщо вірна альтернативна.

Очевидно, що на множині W значень статистики  критерію можна вибирати як завгодно багато критичних областей W_ для заданого рівня значущості , проте відповідні їм критерії будуть мати, взагалі кажучи, різні ймовірності помилок другого роду.

Найкращою критичною областю (НКО) називають критичну область, яка для заданого рівня значущості , забезпечує мінімальну ймовірність помилки другого роду.

Перевірка статистичних гіпотез з використанням критеріїв значущості може бути проведена на основі довірчих інтервалів. Так для всіх параметричних гіпотез область прийняття гіпотези Н₀: для рівня значущості  співпадає з довірчим інтервалом для параметра при довірчій ймовірності 1-. При цьому односторонньому критерію значущості відповідає односторонній довірчий інтервал, а двосторонньому – двосторонній довірчий інтервал. Гіпотеза Н₀ приймається, якщо значення покривається відповідним довірчим інтервалом; в іншому випадку гіпотеза Н₀ відхиляється.

Якщо перевіряється гіпотеза Н₀: і довірчий інтервал для різниці параметрів накриває нульове значення, то гіпотеза приймається. Виключення становить перевірка гіпотези про рівність дисперсій, оскільки довірчий інтервал будується для відношення дисперсій. В цьому випадку гіпотеза Н₀ приймається, якщо довірчий інтервал накриває значення рівне 1.

Перейдемо до розгляду методики перевірки конкретних гіпотез.