4.5.6. Гіпотеза про рівність математичних сподівань двох нормально розподілених ознак і генеральної сукупності з невідомими дисперсіями (залежні вибірки)

Нехай в генеральній сукупності досліджуються дві нормально розподілені випадкові величини (ознаки) і , причому їх дисперсії невідомі. З цією метою взяті дві залежні вибірки однакового об’єму n, варіанти яких відповідно рівні x_i та y_i. Потрібно для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу Н₀: при альтернативній гіпотезі Н₁: .

Позначимо , , . Випадкова величина має t-розподіл Стьюдента з ступенями свободи.

Критична область , де знаходять з таблиці 4 у додатку.

Нехай – точкова оцінка випадкової величини , обчислена на основі вибірки. Тоді, якщо , гіпотеза відхиляється, а в протилежному випадку – приймається.

Приклад 4.17. Для аналізу результатів вступних випробувань з мови (х_і) і математики (у_і) взята вибірка об’ємом і отриманий наступний емпіричний розподіл:

	56	52	48	50	52	42	56	50	52	56	50	52	54	54	54	46	50	54	52	48	56	52
	56	57	53	48	45	51	36	39	35	30	33	29	26	26	25	33	29	25	26	30	22	26

	38	44	42	38	30	40	42	42	34	34	35	36	36	40	28	42	36	22	36
	39	32	34	35	42	31	28	28	34	34	29	31	30	25	35	20	22	34	16

Для рівня значущості перевірити чи значимо відрізняються результати вступних випробувань з мови і математики між собою, при умові, що вони розподілені нормально.

Розв’язок. Знайдемо спочатку різниці

а потім вибіркове середнє . Враховуючи, що , обчислюємо:

Далі . За таблицею 4 додатку знаходимо t(0,05,40)=2,023. Оскільки , нульова гіпотеза відхиляється, тобто результати з мови і літератури значно відрізняються між собою.

4.5.7. Гіпотеза про рівність невідомої ймовірності р гіпотетичній ймовірності

Нехай для досить великого числа n незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність р появи подій стала, але невідома, знайдена відносна частина

. Потрібно для заданого рівняння значущості перевірити нульову гіпотезу .

Випадкова величина при справедливості нульової гіпотези має нормальний розподіл з параметрами (0,1).

При альтернативних гіпотезах , де - розв’язок рівняння при В останніх двох випадках - розв’язок рівняння .

Приклад 4.18. При аналізі результатів семестрового екзамену з деякого предмету отримано, що зі 110 студентів першого курсу 16 одержали негативну оцінку. Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу про те, що 10% студентів отримають негативну оцінку при альтернативній гіпотезі .

Розв’язок. Для випадкової величини шукаємо її точкову оцінку

За таблицею 2 додатку отримуємо, що , . Таким чином наше при пущення виявилось вірним.