4.5.4. Гіпотеза про рівність дисперсії нормально розподіленої ознаки генеральної сукупності гіпотетичному значенню

Нехай в генеральній сукупності досліджується нормально розподілена випадкова величина (ознака) з параметрами . Проведено вибірку ( ) об’єму n. Параметри та – невідомі. Відносно значення параметра висувається гіпотеза Н₀: .

Оскільки значення невідоме, то для перевірки гіпотези Н₀ використаємо його точкову оцінку . Тоді випадкова величина має розподіл з (n-1) ступенями свободи.

При альтернативних гіпотезах:

Н₁: ;

Н₁: ; Н₁: , де , , , знаходять за таблицею 5 у додатку.

Нехай – точкова оцінка випадкової величини , обчислена на основі вибірки. Тоді, якщо , то гіпотеза відхиляється, а в протилежному випадку – приймається.

Приклад 4.15. Робота групи експертів при оцінюванні вагомості впливу факторів на різні види ризику вважається узгодженою, якщо дисперсія результатів оцінювання не повинна перевищувати . З результатів оцінювання взяли вибірку об’ємом і отримали наступний емпіричний розподіл балів:

xi	3	7	8	10	11	15	20	2 , 1
ki	1	2	1	9	1	3	2	1

де x_i – бали, присвоєні кожним експертом, k_i – кількість експертів, які присвоїли дані бали.

Допустивши, що результати оцінювання розподілені нормально, для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу Н₀: , при альтернативній гіпотезі Н₁: .

Розв’язок. Обчислюємо і :

,

За формулою знайдемо, що точкова оцінка . З таблиці 5 у додатку отримаємо .

Оскільки , то гіпотеза приймається. Тобто з надійністю 0,95 можна стверджувати, що результати оцінювання вагомості впливу фактору на елемент аудиторського ризику, виставлені кожним експертом, є узгоджені між собою.

4.5.5. Гіпотеза про рівність декількох дисперсій нормально розподілених ознак генеральної сукупності за вибірками однакового об'єму

Нехай ознаки генеральної сукупності розподілені нормально. З цієї сукупності взято l незалежних вибірок однакового об'єму n і для кожної з них знайдені виправлені вибіркові дисперсії , всі з однаковим числом ступенів свободи k=n-1. Потрібно для рівня значущості перевірити гіпотезу про однорідність дисперсій;

. (4.30)

Розглянемо випадкову величину

, (4.31)

де - найбільша із всіх виправлена вибіркова дисперсія. Розподіл цієї випадкової величини залежить тільки від числа ступенів свободи k=n-1 і кількості вибірок l.

Для заданого рівня значущості критична область , де = ( , k, l) знаходять з таблиці критичних точок розподілу Кочрена (таблиця 7 у додатку). Критерій узгодження формулюється:

Нехай – точкова оцінка випадкової величини , обчислена на основі l незалежних вибірок однакового об'єму. Тоді:

1. Якщо > , то гіпотеза H₀ – відхиляється.

2. Якщо < , то гіпотеза H₀ – приймається.

Приклад 4.16. Трьома експертами за 100-бальною шкалою проведена оцінка вагомості всіх факторів, що впливають на внутрішньогосподарський ризик, і отримані наступні результати:

І	8	20	15	2	20	8	5	5	5	2	5	4	1
ІІ	5	10	20	5	20	3	3	3	5	6	10	5	5
ІІІ	18	13	8	2	25	5	6	3	2	4	4	4	6

Чи можна для рівня значущості стверджувати про узгодженість оцінок експертів (припускається, що оцінки експертів розподілені нормально).

Розв’язок. Вибіркове середнє для оцінок кожного експерта . Обчислимо виправлені вибіркові дисперсії . Для цього спочатку оцінки кожного експерта представимо у вигляді наступних статистичних рядів:

xi	1	2	4	5	8	15	20		xi	3	5	6	10	20
ki	1	2	1	4	2	1	2		ki	3	5	1	2	2
xi	2	3	4	5	6	8	13	18	25
ki	2	1	3	1	2	1	1	1	1

Тоді:

,

.

Оскільки , то точкова оцінка випадкової величини (4.31) рівна:

.

За таблицею 7 у додатку для , , , . Враховуючи, що , то можемо стверджувати, що оцінки експертів узгоджені між собою.