4.5.2. Гіпотеза про рівність дисперсій двох нормально розподілених ознак генеральної сукупності

Нехай в генеральній сукупності досліджуються дві нормально розподілені випадкові величини (ознаки) і . З цією метою проведено дві незалежні вибірки (х₁, х₂ .. ) і (у₁, у₂ .. ) з об'ємами n₁ i n₂.

Необхідно перевірити таку параметричну гіпотезу:

. (4.28)

Розглянемо два випадки:

a) i невідомі.

Оскільки i - невідомі, то найкращими точковими оцінками дисперсій і є

Розглянемо випадкову величину

(4.29)

яка при справедливості основної гіпотези не залежить від невідомих параметрів нормального розподілу. Крім того, і не залежать від середніх значень вибірки, а / і / мають χ² – розподіл з n₁-1 i n₂-1 cтупенями свободи і не залежать ні від середнього, ні від дисперсій, якщо справедлива основна гіпотеза (4.28). Оскільки / і / не залежать ні від середніх, ні від дисперсій, то їх відношення / також не залежить від середніх двох вибірок, як і від дисперсій двох вибірок, лише б дисперсії були рівні.

Тоді випадкова величина має розподіл Фішера з і ступенями свободи.

При альтернативних гіпотезах:

Н₁: ;

Н₁: ; Н₁: ,

де знаходять з таблиці 8 додатку.

Нехай – точкова оцінка випадкової величини , обчислена на основі вибірки за формулою 4.29. Тоді, якщо , то гіпотеза відхиляється, а в протилежному випадку – приймається.

б) i – відомі.

В даному випадку гіпотеза перевіряється аналогічно до попередньої, але

де , – відомі середні генеральних сукупностей. Якщо вірна гіпотеза H₀: то / і / розподілені за законом χ² відповідно з n₁ i n₂ ступенями свободи. Тому випадкова величина / розподілена за законом Фішера з n₁ i n₂ ступенями свободи.

4.5.3. Гіпотеза про рівність математичного сподівання нормально розподіленої ознаки генеральної сукупності гіпотетичному значенню

Нехай в генеральній сукупності досліджується нормально розподілена випадкова величина (ознака) з параметрами . Проведено вибірку ( ) об’єму n. Параметри та – невідомі. Відносно значення параметра висувається гіпотеза: Н₀: .

Оскільки значення математичного сподівання невідоме, то для перевірки гіпотези Н₀ використовується його точкова оцінка , яка у випадку нормально розподіленої випадкової величини має нормальний закон розподілу з параметрами . Тоді випадкова величина має t-розподіл Стьюдента з (n-1) ступенями свободи.

При альтернативних гіпотезах: Н₁: ; Н₁: ; Н₁: , де знаходять за таблицею 4 у додатку.

Нехай – точкова оцінка випадкової величини , обчислена на основі вибірки. Тоді, якщо , то гіпотеза відхиляється, а в протилежному випадку – приймається.

Приклад 4.14. За вибіркою об’єму , взятою з результатів вступних випробувань, знайдено вибіркову середню і виправлену вибіркову дисперсію . Допустивши, що результати випробувань розподілені нормально, для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу Н₀: при Н₁: .

Розв’язок. За фор­му­ло­ю зна­хо­ди­мо, що . З таблиці 4 у додатку отримаємо . Оскільки , то гіпотеза приймається.

Зауваження 4.10. Якщо дисперсія відома, то . При альтернативних гіпотезах: Н₁: , де – розв’язок рівняння ; Н₁: ; Н₁: . В останніх двох випадках – розв’язок рівняння .