4.4.5. Перевірка гіпотези про однорідність двох вибірок. Критерій Вілкоксона

Нехай і – дві незалежні вибірки. Перевірка гіпотези про однорідність двох вибірок в припущенні, що і – неперервні випадкові величини, зводиться до перевірки нульової гіпотези , яка полягає в тому, що при всіх значеннях x функції розподілу обох вибірок рівні між собою.

Припустимо, що (в протилежному випадку вибірки можна поміняти місцями).

Для даного рівня значущості перевірку нульової гіпотези проводять за схемою:

1. Записують варіанти обох вибірок в зростаючому порядку у виді ряду і знаходять в ньому величину - суму порядкових номерів варіант першої вибірки в цьому ряді.

2. Критична область визначається альтернативною гіпотезою .

а) , . З таблиці критичних точок розподілу Вілкоксона (таблиця 14 у додатку) знаходять , .

б) , , знаходять з таблиці 14 у додатку.

в) , , .

Зауваження 4.7. Якщо декілька варіантів однієї вибірки однакові, то в спільному ряді їх нумерують послідовно ніби вони є різними числами.

Зауваження 4.8. Якщо співпадають варіанти різних вибірок, то їм усім присвоюють порядковий номер, який дорівнює середньому арифметичному тих номерів, які б мали ці варіанти якби були різними.

Приклад. 4.10. При експертній оцінці вагомості факторів, що впливають на внутрішньогосподарський ризик двома експертами отримано наступні результати

І 1 8 15 10 8 9 11 9 8 4 2 6 5 5.

ІІ 11 15 16 10 3 5 13 8 3 7 8 2 1 9.

Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу про однорідність оцінок обох експертів при альтернативній гіпотезі .

Розв’язок. Розмістимо отримані результати в порядку зростання:

1,2,2,3,3,4,5,5,5,6,7,8,8,8,8,8,9,9,9,10,10,11,13,15,15,16.

Пронумеруємо елементи цього ряду, враховуючи зауваження 4.7. і 4.8.

1	2	2	3	3	4	5	5	5	6	7	8	8	8
1	2,5	2,5	4	5	6	8	8	8	10	11	14	14	14

8	8	9	9	9	10	10	11	13	15	15	16
14	14	18	18	18	20,5	20,5	22	23	24,5	24,5	26

Обчислимо суму рангів першої вибірки

.

Оскільки альтернативна гіпотеза , то критична область двостороння. Для рівня значущості і чисел ступенів свободи і за таблицею 13 у додатку знаходимо . Тоді .

З того що , випливає, що нульова гіпотеза приймається, тобто нема суттєвої розбіжності в оцінюванні обох експертів.

Якщо і , то , , (4.15)

де - ціла частина числа , – розв’язок рівняння , .

Якщо , то ; , то ,

де визначається за формулою (4.15) в якій є розв’язком рівняння .