4.4.3. Критерій знаків

Нехай і - n пар випадкових величин, для яких різниці можна подати у вигляді , а випадкові величини : 1) незалежні; 2) неперервно розподілені; 3) симетрично розподілені відносно нуля (симетричність розподілів означає, що розподіли та - збігаються).

Зауважимо, що розподіли випадкових величин та неперервні, але невідомі (і вони можуть бути, взагалі кажучи, різними як і розподіли випадкових величин ).

Щодо невідомого параметра висувається гіпотеза . Альтернативними до неї є ; ; .

Справджується чи ні гіпотеза , випадкові величини неперервно й симетрично розподілені відносно нуля і незалежні. Звідси випливає, що випадкова величина, яка дорівнює кількості випадкових величин що набули додатних значень має біноміальний розподіл із параметрами і тому кількість даних величин серед , близька до половини наявних, тобто до .

Позначимо через кількість додатних різниць серед . Тоді при перевірці гіпотези її природно відхиляти, якщо кількість додатних різниць істотно відрізняється від і не відхиляти в іншому випадку.

Критична точка визначається як мінімальне число m , для якого , де - біноміально розподілена випадкова величина з параметрами n та . Для заданого рівня значущості значення знаходять за таблицею 12 у додатку.

Критична область при ; при ; при .

Якщо зняти вимогу про неперервність розподілів випадкових величин і , то різниці , можуть набувати нульових значень з ненульовою ймовірністю. В даному випадку критерій знаків можна застосувати до відмінних від нуля різниць, відкинувши нульові.

Приклад 4.8 Групою з 20 експертів проводилася оцінка вагомості факторів „Характер бізнесу клієнта” і „Професійність і чесність адміністрації” та отримано наступні результати:

8, 5, 20, 8, 5, 18, 8, 5, 10, 8, 15, 8, 5, 10, 35, 5, 10, 5, 10, 12.

4, 5, 20, 5, 3, 6, 10,15,10, 9, 8, 40, 8, 5, 10, 20, 18, 20, 10, 20.

Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу про співпадання оцінок експертів при альтернативній гіпотезі про їх відмінність.

Розв’язок. Позначимо через - оцінки першого фактору, – другого, а . Тоді різниці будуть мати наступні знаки:

+, 0, 0, +, +, +, -, -, 0, -, +, -, -, +, +, -, -, -, 0, -.

Кількість різниць відмінних від нуля , а кількість додатних різниць . Тоді з таблиці 12 у додатку для і знаходимо, що область прийняття гіпотези . Таким чином гіпотеза приймається, тобто нема істотної різниці в оцінках експертів.

Часто при перевірці гіпотези користуються критерієм Фішера. Зокрема, при альтернативній гіпотезі статистика , число ступенів свободи , , критична область .

При альтернативній гіпотезі , , , , .

При альтернативній гіпотезі гіпотеза відхиляється, якщо виконується одна з нерівностей: або .

Зокрема для прикладу 4.8 , , . За таблицею 8 у додатку . Оскільки, , то гіпотеза приймається.

4.4.4. Критерій серій

Даний критерій застосовується для перевірки гіпотези , в якій стверджується, що елементи вибірки одержані випадковим чином і незалежні. Нехай – вибірка результатів спостережень, а медіана, обчислена на основі результатів спостережень. Кожному елементу вибірки ставиться у відповідність знак „+” або „-” в залежності від того, чи його значення більше або менше за медіану (нульові значення різниць не враховуються). Таким чином, всій вибірці поставлено у відповідність певний набір знаків. Позначимо через число знаків „+”, а – число знаків „-” в одержаному наборі. Серією в цьому наборі називається будь – яка послідовність, яка складається з однакових знаків і обмежена протилежними знаками, або знаходиться на початку чи в кінці набору.

Наприклад, в наборі: +,-,+,+,+,-,-,-,-,-,+,+ міститься 5 серій, а , .

Статистикою критерію серій є число серій N. Критична область . Значення і задаються таблицею 13 у додатку.

При великих об’ємах вибірки, коли або , або , або обидва значення і більші 20 для перевірки гіпотези можна використати статистику , точкова оцінка якої обчислюється за формулою

.

При умові, що вірна гіпотеза , статистика має приблизно нормальний розподіл N(0,1). В цьому випадку критична область , де знаходять за таблицею 2а у додатку.

Приклад 4.9 Розподіл середньомісячної зарплати в 1999р. по регіонах України представляється у вигляді ряду:168, 129, 118, 209, 220, 134, 130, 215, 140, 191, 137, 184, 152, 169, 183, 173, 135, 150, 112, 184, 143, 127, 146, 123, 141, 303, 187. Чи можна для рівня значущості вважати отримані результати випадковими?

Розв’язок. Знайдемо оцінку медіани отриманих результатів. Для цього представимо їх у виді рангованого ряду:

112,118,123,127,129,130,134,135,137,140,141,143,146,150,152,168,169,173,183,184,187,191,209,215,202,303.

Для нього Me=150, а відповідна послідовність знаків:

+, -, -, +, +, -, -, +, -, +, -, +, +, +, +, +, -, -, +, -, -, -, -, -, +, +, де , , число серій N=13. За таблицею 13 додатку при знаходимо , .Таким чином, гіпотеза приймається. Отримані результати можна вважати випадковими.