Контрольные вопросы

1. Виды абсолютных величин.

2. Виды относительных величин и методы их расчета.

3. Виды степенных средних и методы их расчета.

4. Структурные средние: мода и медиана.

5. Различия в расчете средних для дискретных и непрерывных данных.

4. Показатели вариации

В практическом анализе оценка рассеяния значений признака может оказаться не менее важной, чем определение средней.

Самая грубая оценка рассеяния, определяемая по данным вариационного ряда, может быть дана с помощью размаха вариации:

, где х_тaх и х_тin — наибольшее и наименьшее значения варьирующего признака.

Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важ­но знать, какова амплитуда колебаний значений признака, напри­мер, каковы колебания цены на данный товар в течение недели или по разным регионам в данный отрезок времени.

Однако этот показатель не дает представления о характере ва­риационного ряда, расположении вариантов вокруг средней и мо­жет сильно меняться, если добавить или исключить крайние вари­анты (когда эти значения аномальны для данной совокупности). В этих случаях размах вариации дает искаженную амплитуду коле­бания против нормальных ее размеров.

Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния. Они различаются выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее отдельных вариантов. К таким показателям относятся: среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое откло­нение.

Среднее линейное отклонение – среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней величины:

для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: ,

где x_i – значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении;

f_i - частота признака.

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты или их средняя. Оно дает абсолютную меру вариации.

Чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от средней, можно вместо абсолютных отклонений использовать их квадраты. В этом случае мера вариации называется дисперсией.

Для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: .

Исчисление дисперсии сопряжено с громоздкими расчетами, которые можно упростить, если использовать следующую формулу:

.

Вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, измеряя их в квадратных единицах. Поэтому на основе дисперсии вводят еще две характеристики: среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак, и исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:

для несгруппированных данных: ;

для сгруппированных данных: .

Среднее квадратическое отношение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Отклонение, выраженное в , называется нормированным или стандартизированным.

Для оценки меры вариации и ее значимости используется коэффициент вариации, который дает относительную оценку вариации и получается путем сопоставления среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления, результат выражается в процентах:

.

Так как коэффициенты вариации дают относительную характеристику однородности явлений и процессов, они позволяют сравнивать степень вариации разных признаков. Интерпретируется следующим образом: если V < 33% , то исследуемая совокупность однородная, средняя типичная; если V > 33% , то совокупность разнородная, средняя фиктивная, к ней следует относиться осторожно.

Пример. По приведенным данным таблицы смертности вычислить всевозможные показатели вариации:

Таблица 2. Расчетная таблица для исчисления показателей вариации.

Группы по возрасту	Мужчины fi	Середина интервала xi	Расчетные показатели
0-4	16077	2	32154	1002,9889	16125052,55	64308
5-9	15858	7	111006	711,2889	11279619,38	777042
10-14	24001	12	288012	469,5889	11270603,19	3456144
15-19	33076	17	562292	277,8889	9191453,26	9558964
20-24	32241	22	709302	136,1889	4390866,32	15604644
25-29	29795	27	804465	44,4889	1325546,78	21720555
30-34	34665	32	1109280	2,7889	96677,22	35496960
35-39	26041	37	963517	11,0889	288766,04	35650129
40-44	29951	42	1257942	69,3889	2078266,94	52833564
45-49	27520	47	1293440	177,6889	4889998,53	60791680
50-54	23812	52	1238224	335,9889	8000567,69	64387648
55-59	10484	57	597588	544,2889	5706324,83	34062516
60-64	14951	62	926962	802,5889	11999506,64	57471644
65-69	8971	67	601057	1110,8889	9965784,32	40270819
70 и старше	13852	72	997344	1469,1889	20351204,64	71808768
Итого	341295		11492585	7166,3335	116960238,33	503955385

По выполненным расчетам вычисли показатели вариации:

Дисперсия:

или .

Среднее квадратическое отклонение: , то есть в среднем возраст мужчин отклоняется от33,67 лет на 18,51 год.

Коэффициент вариации , так как больше 33%, следовательно, структура разнородная, средняя фиктивная, к ней надо относиться осторожно.

Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку и для этих групп могут быть найдены средний уровень и дисперсия, то при объединении частных групп в совокупность требуется оценить вариации показателей объединенной совокупности на основе показателей отдельных частных групп. Вариация признака в целом по совокупности, то есть общая дисперсия, характеризуется вариацией признака под влиянием всех факторов, действующих в данной совокупности. Межгрупповая дисперсия – обусловлена вариацией признака, положенного в основание группировки, внутригрупповая дисперсия обусловлена вариацией всех остальных признаков, неучтенных группировкой. Общую дисперсию можно представить в виде суммы двух дисперсий: межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия: ;

Межгрупповая дисперсия: ;

Внутригрупповая дисперсия: ,

где x_i - значения признака;

- среднее значение признака в каждой группе;

- общая средняя;

N_i - число единиц совокупности в i-ой группе.

N - объем выборки;

k - число значений признака;

m - число групп;

- дисперсия в i-ой группе.

Если межгрупповая дисперсия мала по сравнению с общей дисперсией, то группировочный признак оказывает слабое влияние на формирование уровней в совокупности и елико влияние всех остальных признаков, неучтенных группировкой.

Количественно меру влияния группировочного признака можно определить по показателю, который называется эмпирическое корреляционное отношение:

.

Эмпирическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1. Если связь отсутствует, то . В этом случае дисперсия групповых средних равна нулю , то есть межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака. Если связь функциональная, то . В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии , то есть не будет внутригрупповой вариации. Это означает, что группировочный признак полностью определяет вариацию изучаемого признака. Чем ближе значение корреляционного отношения приближается к единице, тем сильнее связь между признаками.

Таблица 3. Качественная оценка связи между признаками.

	Связь			Связь
0	Отсутствует		0,5-0,7	Заметная
0-0,2	Очень слабая		0,7-0,9	Тесная
0,2-0,3	Слабая		0,9-0,99	Весьма тесная
0,3-0,5	Умеренная		1	Функциональная

Пример. Рассчитать дисперсию и эмпирическое корреляционное отношение по следующим данным:

Место проживания пенсионеров	Средний размер месячных пенсий, тыс. руб.	Численность пенсионеров, тыс. чел. Ni	Дисперсия пенсионного пособия в области (группе)
Курская область	264,3	341,4	9025
Курганская область	310,4	235,5	2704
Камчатская область	490,4	38,9	2116
Итого	296,2	615,8	6171,2

Сначала найдем средний размер месячных пенсий по трем областям в целом:

Вариация назначенных пенсионных пособий в отдельных областях, обусловленная различием в местах проживания пенсионеров, характеризуется межгрупповой дисперсией:

Средняя из групповых дисперсий дает обобщающую характеристику случайной вариации, обусловленную всеми остальными факторами, кроме места проживания пенсионеров (например, характером занятости, стажем работы и т. п.):

Вариация пенсионного пособия в изучаемых областях, обусловленная влиянием всех факторов, вместе взятых определяется общей дисперсией:

.

Сопоставляя межгрупповую дисперсию с общей, рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:

Полученное значение позволяет утверждать, что существует заметная связь между местом проживания пенсионеров и размером назначенного пособия (см. табл. 3).