МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

ФАКУЛЬТЕТ Фізичний

КАФЕДРА ФАКУЛЬТЕТУ Фізики твердого тіла

КАФЕДРА ПЕДАГОГІКИ

ПЛАН-КОНСПЕКТ

лекції з курсу «Програмування та математичне моделювання фізичних процесів та систем »

на тему:

«Інтерполювання сплайнами»

проведеної першому курсу

6 березня 2015 року

Склав:

студент групиФзТм-61

Гупало Павло

Перевірили:

доц. Попель О.М.

доц. Біляковська О.О.

Львів 2015

Тема: Інтерполювання сплайнами.

Тривалість заняття: 80 хв.

Тип заняття: лекційне заняття;

Мета.

Студент повинен знати: основні терміни лекції, такі як, інтерполювання, сплайн, поліном, вузли інтерполювання, глобальне та локальне інтерполювання

вміти: застосувати теорію у конкретних ситуаціях;

розуміти: принцип інтерполювання.

Завдання освітні: сформувати у студентів розуміння понять інтерполювання сплайнами, інтерполяційний кубічний сплайн, метод прогонки.

розвиваючі: навчити розуміти блок-схеми для задач з програмування та правильно орієнтуватись у програмі інтерполювання.

виховні: формування уявлень про застосування вищеназваних понять на практиці.

Методи, прийоми та засоби:

Для досягнення визначених завдань, під час лекційного заняття застосовуються:

1. розповідь;

2. дискусія на тему інтерполяційний поліном Ньютона та локальне інтерполювання за методикою Ейткена;

3. узагальнення матеріалу.

Рекомендована література:

1. Іван Хвищун «Програмування і математичне моделювання», Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, Львів -2007, 545с

2. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. – М: Мир, 2001

3. Корнейчук Н.П., Бабенко В. Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномо и сплайнов / ред.. А.И. Степанец, С.Д Кошис, О.Д. Мельник, АН Украини, Ин-т математики. – К: Наукова думка, 1992 – 304 с.

Хід лекції:

1. Організаційна частина..………………………………………….….………..(5хв)

2. Повідомлення теми лекції, визначення основних питань лекції, повідомлення рекомендованої літератури………………………………………………….(5хв)

3. Основна частина, висвітлення лекційного матеріалу:

3.1 Кусково-поліноміальне інтерполювання………………………………..(5хв)

3.2 Сплайн……………………………………………………………………..(5хв)

3.3 Інтерполяційний кубічний сплайн………………………………………(10хв)

3.4 Рівняння для визначення коефіцієнтів кубічного сплайна…………...(15хв)

3.5 Блок схема…………………………………………………………………(5хв)

3.6 Процедура обчислення коефіцієнтів кубічного сплайна………………(10хв)

3.7 Блок-схема табулювання кубічного сплайну……………………………(5хв)

3.8 Процедура табулювання кубiчногосплайна………………………………(5хв)

4. Підсумок…………………………………………………………………..…....(3хв)

5. Відповіді на запитання студентів……………………………………………(3хв)

6. Заключна частина……………………………………………………..………(3хв)

Конспект лекційного заняття

1. Організаційна частина (привітання викладача, перевірка присутності студентів).

2. Повідомлення теми лекції,визначення основних питань лекції, повідомлення рекомендованої літератури.

3. Основна частина.

3.1 Кусково-поліноміальне інтерполювання

Інтерполювання експериментальних результатів многочленом Лагранжа чи Ньютона на інтервалі[al, bl] з використанням значної кількості інтерполяційних вузлів часто спричинює до поганого наближення, що пояснюється значним накопиченням похибок у процесі обчислень. Окрім того, внаслідок розбіжності процесу інтерполювання, збільшення кількості вузлів не обов’язково зумовлює підвищення точності. Щоб уникнути великих похибок, увесь інтервал [al, bl] розбивають на підінтервали, замінюючи на кожному з них функцію f(x) многочленом невисокого степеня. Це називають кусково-поліноміальним інтерполюванням.

3.2 Сплайн

Одним зі способів побудови інтерполянти на усьому інтервалі [al, bl] є інтерполювання за допомогою сплайн-функцій. Сплайн-функцією або сплайном називають кусково-поліноміальну функцію, визначену на інтервалі[al, bl], яка має на цьому інтервалі деяке число неперервних похідних. Слово “сплайн” (англійське spline) означає гнучку лінійку, яку використовують для накреслення гладких кривих через задані точки площини. Перевагою сплайнів перед звичайним інтерполюванням є, по-перше, їхня збіжність, і, по-друге, стійкість процесу обчислень.

Розглянемо частковий, однак розповсюджений в обчислювальній практиці випадок, коли сплайн будується на основі многочлена третього степеня (кубічний сплайн). Нехай на інтервалі [al, bl] задано таблично неперервну функцію f(x). Введемо інтерполяційні вузли(сітку):

al=Xe₀<Xe₁<…<Xe_Ne-2<Xe_Ne-1<bl і позначимо f_i=f(Xe_i), i=0…Ne-1.

3.3 Інтерполяційний кубічний сплайн

Інтерполяційним кубічним сплайном, що відповідає функції f(x), визначеної у заданих вузлах, називають функцію s(x), що задовольняє такі умови:

1. На кожному інтервалі [Xe_i-1,Xe_i] i, i=1…Ne-1 функція s(x) є многочленом третього степеня.

2. Функція s(x), а також її перша і друга похідні є неперервними на інтервалі[al, bl].

3. У вузлах інтерполювання вона збігається із функцією f(x): s(Xe_i )=f(Xe_i ), i=0…Ne-1. Останню умову називають умовою інтерполювання.

Розглянемо один із можливих способів побудови інтерполяційного кубічного сплайна s(x). З цією метою на кожному з інтервалів [Xe_i-1,Xe_i], i =1…Ne-1 функцію s(x)=s_i(x) шукатимемо у вигляді многочлена третього степеня:

(1)

, i=1…N_e

де а_і b_i c_i d_i - коефіцієнти, що підлягають визначенню. З’ясуємо зміст уведених коефіцієнтів.

Маємо:

Тому a_i=s_i(Xe_i) b_i=s_i^’(Xe_i) c_i= s_i^’’(Xe_i) d_i= s_i^’’’(Xe_i).

Оскільки інтерполянта, за означенням, збігається з вузлами інтерполювання (тобто s_i(Xe_i)= f(Xe_i) i=1…Ne-1 одержимо: a_i=f(Xe_i) i=1…Ne-1. Довизначимо, окрім того, a₀=f(Xe₀).

Вимога неперервності функції s(x) спричинює до умов s_i(Xe_i)= s_i(Xe_i+1) i=1…Ne-2.

Звідси, з огляду на вирази для функцій s_i(x), одержуємо, при i=1…Ne-2, рівняння:

Позначаючи h_i=Xe_i - Xe_i-1 перепишемо ці рівняння так:

, i=1…Ne-1 (2)

Умови неперервності першої похідної s_i^’(Xe_i)= s_i+1^’(Xe_i), i=1…Ne-2, спричинюють до рівнянь:

i=1…Ne-1. (3)

З умов неперервності другої похідної одержуємо рівняння:

i=1…Ne-1. (4)

Об’єднуючи рівняння (2)–(4), одержимо систему із 3*Ne-3 рівнянь відносно 3*(Ne-1) невідомих, b_i c_i d_i i=1…Ne-1.

Два відсутніх рівняння можна одержати, задаючи ті чи інші граничні умови для s(x) . Припустимо, наприклад, що функція f(x) задовольняє умовам f^’’’(al)=f^’’’(bl)=0. Тоді природно вимагати, щоб s^’’(al)=s^’’(bl)=0. Звідси одержуємо: s^’’(Xe₀)=, s_Ne-1(Xe_Ne-1)=0, тобто c₁-d₁h₁=0 c_n=0.