50. А) Три відрізки a1a2- в1в2, с1с2 не лежать в одній площині, перетинаються в точці о і цією

точкою діляться навпіл. Доведіть, що площини А₁В₁С₁ і A₂B₂C₂, паралельні.

б) Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.

51. A) abcd — паралелограм, be і fd — перпендикуляри до площини abc. Доведіть, що площини

ABE і DFC паралельні.

б) ABCD — паралелограм, AN і СК — перпендикуляри до площини ABC. Доведіть, що площини ADN і КВС паралельні.

52. а) Площини а і β паралельні до площини у. Доведіть, що площини а і β паралельні.

б) Доведіть, що площина, яка проходить через середини ребер АВ, АС і AD тетраедра ABCD паралельна площині BCD.

53. А) Відрізок вм перпендикулярний до площини прямокутника abcd. Доведіть, що пряма cd

перпендикулярна до площини МВС. б) Точка S рівновіддалена від вершин прямокутного трикутника і не лежить у площині цього трикутника. Доведіть, що пряма SM, де М — середина гіпотенузи, перпендикулярна до площини цього трикутника. с

54. а)

ABCD — квадрат, АЕ — перпендикуляр ABCD — квадрат, АЕ — перпендикуляр

до площини квадрата. К є BE. Чому до площини квадрата. М є СЕ. Знайдіть

дорівнює кут між ВС і АK? кут між BD і AM.

55. а) Пряма ОК перпендикулярна до площини ромба, діагоналі якого перетинаються в точці О.

Доведіть, що відстані від точки К до всіх прямих, які містять сторони ромба, рівні між собою.

б) Через вершину В ромба ABCD проведена пряма ВМ, яка перпендикулярна до його площини.

Доведіть, що відстані від точки M до прямих, які містять сторони ромба AD і DC, рівні між собою.

56. а) Точка М не лежить у площині трикутника ABC і знаходиться на відстанях МК і MD від катетів

ВА і ВС прямокутного трикутника ABC, МО — перпендикуляр до площини цього трикутника. Доведіть, що чотирикутник BKOD — прямокутник.

б) Точка М знаходиться на однаковій відстані від сторін кута ABC і не належить його площині. Доведіть, що її ортогональна проекція належить бісектрисі цього кута, якщо вона знаходиться у внутрішній площині кута.

57. а) Доведіть, що в правильній чотирикутній піраміді бічне ребро перпендикулярне до більшої діагоналі

основи, яка його не перетинає.

б) Доведіть, що в правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює прямий кут із стороною основи, яка його не перетинає.

58. а) У правильній трикутній піраміді SABC через бічне ребро SC і висоту SO піраміди проведено

площину а. Доведіть, що площина а перпендикулярна до площини SAB.

б) Доведіть, що площина, яка проходить через висоту правильної чотирикутної піраміди і висоту бічної грані, перпендикулярна до площини цієї бічної грані.

59. а) Точка М знаходиться поза площиною квадрата АВСD на однаковій відстані від усіх вершин.

Визначте взаємне розміщення площин АМС і ВDM.

б) Із вершин квадрата АВСD проведено перпендикуляри ВВ₁, DD₁, АА₁. Визначте взаємне розмі­щення площин АВВ₁ i А₁DD₁.

60. а) Перпендикулярні площини а і β перетинаються по прямій а. В площині а проведена пряма,

перпендикулярна прямій а. Доведіть, що ця пряма перпендикулярна і до площини р.

б) Площини а і β перпендикулярні. Через точку Т площинна проведено пряму, яка перпендикулярна до площини β. Доведіть, що ця пряма лежить у площині a.

61. а) Не перпендикулярні площини а і β перетинаються по прямій МN. У площині β із точки А

проведено перпендикуляр АВ до прямої МN і з цієї ж точки А проведено перпендикулярне AC до площини а. Чи правильним є твердження, що ﮮАВС — лінійний кут двогранного кута МN.

б) У тетраедрі SАВС всі ребра рівні, точка М — середина ребра АС. Доведіть, що ﮮSМВ — лінійний кут двогранного кута АС.

62. а) Доведіть, що діагональ будь-якого паралелепіпеда менша суми трьох ребер, які мають спільну

вершину.

б) Доведіть, що сума квадратів чотирьох діагоналей будь-якого паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів дванадцяти його ребер.

63. а) Прямі а і b паралельні. Точки A і В лежать на прямій а, а точки С і D — на прямій b. Доведіть,

що прямі АС і ВD лежать в одній площині.

б) Прямі АВ і СD не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АС і ВD не лежать в одній площині.

64. а) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, описаного навколо основи,

якщо бічні ребра піраміди рівні.

б) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, вписаного в основу даної піраміди, якщо двогранні кути при основі рівні.

65. а) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, вписаного в основу даної

піраміди, якщо кути між висотою піраміди і висотою кожної бічної грані рівні.

б) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, описаного навколо основи піраміди, якщо її бічні ребра однаково нахилені до площини основи.

66. а) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, описаного навколо основи,

якщо бічні ребра утворюють рівні кути з висотою піраміди.

б) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, вписаного в основу даної піраміди, якщо кути між висотою піраміди і кожною бічною гранню рівні.

67. а) Доведіть, що переріз, проведений у правильній чотирикутній призмі, через середини двох суміжних

ребер основи паралельно бічним ребрам, є прямокутником.

б) Доведіть, що переріз, проведений у кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ через середини двох суміжних ребер АВ і АD паралельно діагональному перерізу ВDD₁В₁ є прямокутником.

68. а) Доведіть, що в правильній трикутній піраміді протилежні ребра взаємно перпендикулярні.

б) Із центра О квадрата АВСD проведено до його площини перпендикуляр ОК. Доведіть, що пряма АК перпендикулярна до діагоналі ВD квадрата.

69. а) Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди перпендикулярне до однієї із діагоналей основи. Доведіть. б) Із вершини В ромба АВСD проведено до його площини перпендикуляр ВM і точка М сполучена

з D. Доведіть, що DМ ﬩ АС.

70. а) Доведіть, що коли площина і пряма, яка не лежить у цій площині, паралельні одній і тій же

площині, то вони паралельні між собою.

б) Через точки А і А₁, взяті поза площиною, проведено прямі АВ і АС. паралельні відповідно прямим А₁В₁ і А₁С₁; В, С, В₁, С₁ — точки перетину відповідних прямих з даною площиною. Доведіть, що прямі ВС і В₁С₁ паралельні між собою.

71. а) Доведіть, що пряма, яка проходить через середини відрізків АВ і ВС паралельна прямій, яка

проходить через середини відрізків АD і СD, або збігається з нею.

б) Доведіть, що коли одна із двох паралельних прямих, розміщених поза даною площиною, паралельна даній площині, то і друга пряма паралельна цій площині.

72. а) Із середини М сторони АВ правильного трикутника АВС проведено до площини трикутника

перпендикуляр АШ; точка N сполучена з С. Доведіть, що СN ± АВ. б) Доведіть, що діагональ В₁В правильної чотирикутної призми АВСDА₁В₁С₁D₁ перпендикулярна діагоналі АС основи.

73. а) Куб перетинається площиною а, яка проходить через ребро АА, і точку М, взяту на ребрі В,С₃.

Доведіть, що лінія перетину площини а і площини грані В₁ЕСС_І паралельна ребру ДА, б) Через кожну пару протилежних бічних ребер паралелепіпеда проведено площини. Доведіть, що лінія перетину цих площин паралельна бічним ребрам піраміди.

74. а) Через середини бічних ребер трикутної піраміди проведено площину. Доведіть, що вона паралельна площині основи піраміди. б) Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁. Через протилежні ребра АВ і 0,С,. ОС і А₁В₁ нижньої і верхньої основ проведено площини. Чи правильним є твердження, що лінія перетину цих площин паралельна площинам верхньої і нижньої основ паралелепіпеда.

75. а) Основа прямої призми — прямокутний трикутник. Через бічне ребро, що сполучає вершини

прямих кутів основ і середину гіпотенузи нижньої основи, проведено площину. Доведіть, що лінія перетину цієї площини з бічною гранню паралельна вказаним бічним ребрам. б) Через середини двох ребер основи правильної трикутної піраміди проведено площину паралельно бічним ребрам. Доведіть, що ця площина перетинає дві бічні грані піраміди по прямих, які паралельні між собою.

76. а) із точки О перетину діагоналей прямокутника до площини цього прямокутника проведено

перпендикуляр. Доведіть, що довільна точка цього перпендикуляра рівновіддалена від вершин прямокутника.

б) Якщо із двох точок, які знаходяться на різних відстанях від площини, провести дві рівні похилі, то проекція на цю площину тої похилої буде більша, яка проведена із точки, що знаходиться ближче до площини. Доведіть.

77. а) В основі піраміди лежить прямокутник. Одне бічне ребро його перпендикулярне до площини

основи. Доведіть, що всі бічні грані піраміди — прямокутні трикутники. б) В основі піраміди лежить квадрат. Одне бічне ребро його перпендикулярне до площини основи. Доведіть, що всі бічні грані піраміди — прямокутні трикутники.

78. а) Із точки до площини проведено дві похилі, що утворюють з цією площиною кути, сума яких

порівнює 90*. Доведіть, що проекції похилих на дану площину відносяться між собою, як квадрати довжин похилих.

б) Сума кутів між похилими і перпендикуляром, проведеними з однієї точки, дорівнює 90°. Доведіть, що відношення квадратів похилих дорівнює відношенню їх проекцій.

79. а,) Доведіть, що відстань від середини відрізка до площини, яка його не перетинає, дорівнює

Пів сумі відстаней від кінців відрізка до цієї площини. б) Доведіть, що відстань від середини відрізка до площини, яка його перетинає, дорівнює модулю піврізниці відстаней від кінців відрізка до цієї площини.

80. а) Доведіть, що коли дві площини, які перетинаються, перпендикулярні до третьої, то пряма їх

перетину перпендикулярна до цієї площини. б) Три площини попарно перпендикулярні. Доведіть, що прямі їх перетину також попарно перпенди­кулярні.

81. а) Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 5 : 6. Знайдіть відстань

від точки до площини, якщо відповідні проекції похилих дорівнюють 4 см і 3

см. б) Із даної точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 6 см. їх проекції на цю площину дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

82. а) Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. Поза площиною трикутника дано точку,

яка знаходиться на відстані 10 см від кожної його вершини. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

б) Знайдіть відстань від точки А! до площини рівнобедреного трикутника АВС, знаючи, що

_

АВ — ВС — 13 см, АС = 10 см, а точка ЛІ віддалена від кожної сторони трикутника на 8 см.

83. а) У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 120°, а бічні сторони — 10 см. Поза

трикутником дано точку, яка віддалена від усіх його вершин на 26 сіл. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника. б) Основа і висота рівнобедреного трикутника дорівнюють 4 см. Дана точка знаходиться на відстані 6 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Знайдіть цю відстань.

84. а) Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Точка М, знаходиться поза площиною ромба і

віддалена від усіх сторін ромба на 8 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба. б) Точка М, рівновіддалена від сторін ромба і знаходиться на відстані 2 см від площини ромба. Знайдіть відстань від точки М до сторін ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 12 см і 16 см.

85. а) Із деякої точки простору проведені до даної площини перпендикуляр, що дорівнює 12 см, і

похила, що дорівнює 13 см. Обчисліть проекцію перпендикуляра на похилу. б) Із деякої точки простору проведені до даної площини перпендикуляр, що дорівнює 12 см. і похила, проекція якої на дану площину дорівнює 5 см. Обчисліть проекцію перпендикуляра на похилу.

86. а) Із точки М, взятої поза площиною (3, проведено дві похилі, що дорівнюють 37 см і 13 см.

Проекції цих похилих відносяться як 7 : 1. Знайдіть відстань від точки М до площини. б) Із точки, взятої поза площиною а на відстані 12 см. проведено дві похилі, що дорівнюють 37 см і 13 см. Знайдіть відношення проекцій цих похилих на площину а.

87. а) Рівнобічна трапеція, периметр якої дорівнює 48 см, а гострий кут — 60°, лежить у площині а.

Точка, рівновіддалена від усіх сторін трапеції, знаходиться на відстані 3 см від площини а. Знайдіть відстань від цієї точки до сторін трапеції. б) Трапеція вписана в коло, причому менша її основа, що дорівнює 16 см. стягує дугу в 60°. На відстані 12 см від площини трапеції знаходиться точка, рівновіддалена від всіх вершин трапеції. Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трапеції.

88. а) Із точки А, взятої поза площиною а, проведено до неї рівні похилі АВ і АС. Відстань ВС між

основами похилих дорівнює 10 см. Кут між ВС і АВ дорівнює 60°, кут між ВС і проекцією похилої АВ на площину а — 30°. Знайдіть відстань від точки А до площини а. б) Із точки до площини проведено дві похилі. Довжина першої похилої дорівнює 13 см, а довжина її проекції — 5 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 120°, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих, — 19 см. Знайдіть довжину другої похилої.

89. и) У трикутнику АВС сторона AВ = 15 см, АС = 13 см, СВ = 14 сад. Із вершини А проведена до його

площини перпендикуляр, який дорівнює 16 см. Знайдіть відстань від його кінців до сторони ВС. б) Сторони трикутника дорівнюють 17, 15 і 8 см. Через вершину А меншого кути трикутника проведена пряма АМ, перпендикулярна до його площини. Знайдіть відстань від точки, М до прямої, яка містить меншу сторону трикутника, коли відомо, що АМ = 20 см.

90. а) Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 32 см. До площини трикутника із соедини

гіпотенузи проведено перпендикуляр, який дорівнює 12 см. Знайдіть відстань від кінців перпендикуляра до катетів. . б) Із вершини гострого кута прямокутного трикутника АВС (АС = 90° ) проведено перпендикуляр АО до його площини. Знайдіть відстані від точки О до вершин В і С, якщо/1С = 15 см. ВС 8 ем, ЛО= 12 см.

91. а) Через вершину прямого кута С прямокутного трикутника АВС до його площини проведене.

перпендикуляр СО, що дорівнює 1 дм. Знайдіть площу трикутника АDВ, якщо АС = 3 дм ВС = 2 дм.

б) У трикутнику АСВ ZC = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медіана. Через вершину С проведено пряму СК перпендикулярно до площини трикутника АВС, причому СК= 12 см. Знайдіть КМ.

92. а) До площини прямокутника АВСБ через його вершину О проведено перпендикуляр ОА, кінець

якого К віддалений від сторони АВ на 2,4 см, від сторони ВС — на 2.8 см, від вершини В — на 3.6 см. Знайдіть ОК

б) Через вершину Л прямокутника АВСБ проведена пряма АК, яка перпендикулярна до площини прямокутника. КD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Знайдіть відстань від точки К до площини прямокутника АВСD.

93. а) У прямокутному трикутнику АВС кут А дорівнює 30°, більший катет — 6 см. Із вериги

гострого кута В проведено перпендикуляр ВК = 2√6 см до площини трикутника. Значить відстань від точки А до катета АС.

б) Із вершини прямого кута прямокутного трикутника проведено перпендикуляр до площини трикутника. Гіпотенуза трикутника дорівнює 12 см, а один із гострих кутів — 60°. Знайдіть відстань від верхнього кінця перпендикуляра до вершин гострих кутів трикутника, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 8 см.

94. а) Точка М знаходиться на однаковій відстані від всіх сторін правильного трикутника зі стороною

12 см і віддалена від площини трикутника на 6 см. Знайдіть відстані від точки М до сторін трикутника.

б) Точка М рівновіддалена від сторін правильного трикутника і знаходиться на відстані 6-^3 см від площини трикутника. Кут між перпендикуляром і похилою, проведеними із точки М до площини цього трикутника, дорівнює 60°. Знайдіть сторону цього трикутника.

95. а) Дано трикутник зі сторонами 26 см, 28 см і ЗО см. Точка М віддалена від усіх сторін трикутника

на 17 см і проектується у внутрішню точку трикутника. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.

б) Дано трикутник зі сторонами 20 см, 65 см і 75 см. Точка М знаходиться на однаковій відстані від сторін трикутника. Із точки М опущено перпендикуляр до площини трикутника, довжина якого дорівнює 4 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін трикутника.

96. а) Сторони трикутника дорівнюють 20 см, 65 см і 75 см. Із вершини більшого кута трикутника

до його площини проведено перпендикуляр, довжина якого — 60 см. Знайдіть відстань від кінців перпендикуляра до більшої сторони трикутника. б) Сторони трикутника дорівнюють 14 см, 16 см і 6 см. Із вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр. Відстань від верхнього кінця перпендикуляра до більшої сторони дорівнює 5-^3 см. Знайдіть довжину цього перпендикуляра.

97. а) ABC — правильний трикутник, О — його центр, ОМ — перпендикуляр до площини ABC.

ОМ = 1 см. Сторона трикутника дорівнює 3 см. Знайдіть відстані від точки М до вершин трикутника.

б) ABCD — квадрат зі стороною, яка дорівнює ^2см. О — точка перетину діагоналей, ОЕ — перпендикуляр до площини ABC, ОЕ = -^3 см. Знайдіть відстані від точки Ј до вершин квадрата.

98. а) Периметр правильного трикутника дорівнює 36-/з см, а відстані від деякої точки до кожної із

сторін трикутника — 10 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника. б) Площа правильного трикутника дорівнює 108^3 см². Точка віддалена від площини трикутника на 8 ом і рівновіддалена від його сторін. Знайдіть відстані від^цієї точки до сторін трикутника.

99. а) Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см.. Точка простору віддалена від кожної

сторони цього трикутника на 5 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника. б) Сторони трикутника дорівнюють 36 см, 25 см і 29 см. Відстань від деякої точки до площини трикутника дорівнює 15 см. Відстані від цієї точки до сторін трикутника рівні. Знайдіть ці відстані.

100. аЛ-'Ортогональною проекцією трикутника, площа якого дорівнює 48 см², є трикутник зі сторонами

14 см, 16 см і 6 см. Обчисліть кут між площиною цього трикутника і площиною його проекції б) Ортогональною проекцією даного трикутника є трикутник зі сторонами 13 см. 14 см і 15 см. Площина трикутника утворює з площиною проекції кут 60°. Обчисліть площу даного трикутника,

101. а) Площа ромба дорівнює 120 см², а його сторона — 12 см. Точка М віддалена від усіх сторін

ромба на 13 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба. б) Одна із діагоналей ромба дорівнює 40 см, а його площа — 600 см². Відстань від точки простору, рівновіддаленої від сторін ромба, до площини ромба дорівнює 16 см. Знайдіть відстані від цієї точки до сторін ромба.

102. а) Рівнобедрені трикутники мають спільну основу довжиною 16 см, а їх площини утворюють

між собою кут 60°. Бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см, а бічні сторони другого трикутника взаємно перпендикулярні. Знайдіть відстань між вершинами трикутників. б) Рівнобедрені трикутники мають спільну основу, що дорівнює 16 см. Відстань між вершинами цих трикутників дорівнює 13 см. Бічна сторона одного трикутника — 17 см. Другий трикутник — прямокутний. Знайдіть кут між площинами цих трикутників.

103. а) Площа рівностороннього трикутника дорівнює 27-^3 ом². Знайдіть відстань між площиною

трикутника і точкою, яка віддалена від кожної із його вершин на 10 см.

б) Висота рівностороннього трикутника дорівнює 9 см. Точка знаходиться на відстані 8 см від площини трикутника і рівновіддалена від його вершин. Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трикутника.

104. а) Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 14 і 50 см, а бічна сторона — 30 см. Знайдіть відстань

від площини трапеції до точки, віддаленої від кожної із її вершин на 65 см. б) Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 50 см, а її діагоналі перпендикулярні до бічних сторін. Точка віддалена від площини трапеції на відстань 60 см і рівновіддалена від її вершин. Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трапеції.

105. а) Периметр рівнобедреного трикутника-дорівнює 128 см, а медіана, проведена до основи, дорівнює

32 см. Відстані від точки простору до вершин трикутника дорівнюють по 65 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини даного трикутника. б) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 768 см². а його основа — 48 см. Точка простору знаходиться на відстані 60 см від площини трикутника і рівновіддалена від усіх його вершин. Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трикутника.

106. а) Із точки до площини проведено дві похилі, які дорівнюють — 3-^2 см кожна. Кут між похилими

60°, а кут між їх проекціями — прямий. Знайдіть відстань від цієї точки до площини. б) Із точки до площини проведено дві похилі, кут між якими дорівнює 60°, а кут між їх проекціями — 90°. Довжини проекцій похилих на площину дорівнюють — 3 см кожна. Знайдіть відстань від точки до площини.

107. а) Із точки А, що знаходиться на відстані б-^/з см від площини, проведено до цієї площини похилі

АВ і АС під кутом 30° до неї. їх проекції утворюють кут 120°. Знайдіть ВС. б) Із точки до площини проведено дві похилі до неї. Довжина однієї із них дорівнює 12^2 см, а довжина її проекції — 8 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 60°, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих, дорівнює 7 см. Знайдіть довжину другої похилої.