- •Затверджено Міністерством освіти України
- •1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі
- •А) жодної: б) одна; в) безліч; г) жодної або одна; д) одна або безліч.
- •Перетинаються;
- •16. А) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 37 — 118)
- •50. А) Три відрізки a1a2- в1в2, с1с2 не лежать в одній площині, перетинаються в точці о і цією
- •51. A) abcd — паралелограм, be і fd — перпендикуляри до площини abc. Доведіть, що площини
- •53. А) Відрізок вм перпендикулярний до площини прямокутника abcd. Доведіть, що пряма cd
- •108. А) Із точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі
- •109. А) Із точки, що знаходиться на відстані 24 см від площини, проведено до неї дві похилі, кут між
- •110. А) Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24 см. Належать двом перпендикулярним площинам.
- •111. А) Із кінців відрізка, що належать двом взаємно перпендикулярним площинам, до лінії перетину
- •112. А) Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані
- •113. А) Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну
- •115. А) Із точки до площини прямокутника зі сторонами 9 см і 12 см, проведено перпендикуляр,
- •116. А.) у прямокутній трапеції abcd бічні сторони — 24 см і 25 см. А більша діагональ bd є
- •117. А) Вершина с рівностороннього трикутника abc. Сторона якого 8 см. Віддалена від площини a
- •118. А) Через гіпотенузу ав прямокутного рівнобедреного трикутника abc проведено площину р під
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 119 — 185)
- •119. А) Пряма а паралельна до площини а. Через точки а і в прямої а проведено паралельні прямі,
- •121. А) Пряма не лежить у площині і паралельна до двох прямих цієї площини. Знайдіть відстань від
- •122. А) Точка лежить поза площиною прямого кута і знаходиться на відстані 8 см від кожної із сторін
- •123. А) Кінці відрізка довжиною 10 см лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах. Цей
- •124. А) Дві паралельні прямі ав і сd лежать у двох площинах, що перетинаються під кутом 60°.
- •125. А) Із точки м — середини бічної сторони ав рівнобедреної трапеції авсd до її площини
- •126. А) Площі двох рівнобедрених трикутників відповідно дорівнюють 15 см2 і 40 см2. Трикутники
- •127. А) На площині дано трапецію і точку поза нею, яка віддалена від кожної із сторін трапеції на
- •132. А) Із деякої точки простору до площини ромба, сторона якого дорівнює 5 см, а менша діагональ
- •133. А) Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см. Із середини більшої сторони прямокутника
- •134. А) Точка м знаходиться на відстані 3 см від кожної із вершин паралелограма, сторони якого
- •136. А} Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Деяка точка поза ромбом, віддалена від усіх його
- •137. А) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть найкоротшу відстань між діагоналлю куба і діагоналлю
- •138. А) Деяка точка рівновіддалена від сторін правильного трикутника на 49 см. Периметр трикутника
- •140. А) Всередині тригранного кута з прямими плоскими кутами взято точку. Знайдіть відстань від
- •142. А) Дві прямі належать двом перпендикулярним площинам, паралельні прямій перетину площин
- •152. А) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка простору рівновіддалена від
- •153. А} Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну із його
- •154. А) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього
- •155. А) у прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, ділить
- •156. А) Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого
- •157. А) Ортогональною проекцією чотирикутника, площа якого дорівнює 144 см2, є прямокутник,
- •173. А) Із точки d, що лежить на гіпотенузі ав прямокутного трикутника авс, проведено відрізок
- •179. А) у круг радіуса 8 см вписано прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює 30°. Із
- •180. А) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках а1, a2, a3; друга пряма — у
- •183. А) Із центра о квадрата abcd, діагональ якого дорівнює 16√2 см, проведено відрізок of
- •§ 2. Геометричні побудови
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 186 — 213)
- •189. А) Побудуйте лінію перетину площин abb1 і b1c1c в кубі abcda1b1c1d1.
- •190. A) Дано прямокутний паралелепіпед. Як розміщена пряма ab відносно грані dcc1d1?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 214 — 251)
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 252 — 265)
- •Розділ II. Координати і вектори в просторі
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 266 — 287)
- •274. А) Дано вектори а (4; -2; -4) та b(6; -3; 2). Обчисліть (a-b)2
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 288 — 327)
- •294 А) Дано куб авсdа1в1с1d1. Обчисліть кут між векторами вс1 і вк, де к— середина ребра dd1.
- •295 А) Мі n — середини ребер в1в і а1d1 куба авсdа1в1с1d1, ребро якого дорівнює 2а. Знайдіть
- •Розділ III. Многогранники §1. Призма
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 328 — 343)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 344 — 399)
- •350. А) у прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут а, а з площиною
- •372. А) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою, що дорівнює а і кутом при
- •373. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом
- •374. А) Основа прямої призми — ромб зі стороною а, кут між площинами двох бічних граней дорівнює
- •377. А) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Діагональ
- •394. А) Повна поверхня прямокутного паралелепіпеда, основою якого є квадрат, дорівнює 264 см2.
- •395. А) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 60 см2. Площа діагональних
- •396. А) Переріз прямокутного паралелепіпеда, проведеного через діагональ нижньої основи і кінець
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 400 — 417)
- •404. А) в основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми утворює з площиною основи
- •405. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині.
- •§ 2. Піраміда 1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 418 — 440)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 441 — 495)
- •449. А) у правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте повну поверхню
- •451. А) у правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут а. Визначте повну поверхню
- •452. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте бічну
- •455. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Відстань
- •471. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •474. А) в основі піраміди лежить ромб із стороною а і гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •475. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Бічна грань,
- •476. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом а. Бічна грань, що містить
- •478. А) Основою піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює s. Одна бічна грань піраміди
- •479. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а Бічна грань,
- •482. А) Основа піраміди — правильний трикутник із стороною а. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до основи,
- •484. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього
- •485. А) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Бічна грань, яка містить
- •486. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •487. А) Кожне бічне бічне ребро піраміди дорівнює 2√41 см. Основа піраміди — прямокутний
- •489. А) Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 дм, 20 дм, 21 дм. Обчисліть об'єм піраміди,
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 496 — 531)
- •512. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Дві бічні грані, що містять
- •513. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Дві бічні грані, що містять сторони гострого
- •515. А) в основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні суміжні грані піраміди перпендикулярні до основи,
- •516. А) в основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •519. А) в основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а. Всі бічні
- •520. О) в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція з бічною стороною с і гострим кутом a. Бічна
- •529. А.) Довжини сторін основ, і висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди відносяться як
- •9 : 6 : 2. Площа бічної поверхні — 3 дм2. Знайдіть, площу повної поверхні.
- •530. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з бічних граней — рівнобедрений
- •531. А) Правильна п'ятикутна піраміда sавсdе перетинається площиною, що проходить через вершини
- •Розділ IV. Тіла обертання
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 532 — 550)
- •2. Завдання підвищеного рівня ( №№ 551 — 59s )
- •556. А) у нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані т від центра нижньої
- •565. А) Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
- •567. А) Знайдіть найбільший об'єм циліндра, площа повної поверхні якого дорівнює 54п см2, якщо
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 599 — 614)
- •Завдання підвищеного рівня (№№ 615 — 637)
- •620. А) в основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною
- •622. А) Основа прямої призма — прямокутник зі стороною а і кутом ос, який утворює ця сторона з
- •Завдання поглибленого рівня (№№ 638 — 710)
- •643. А) у кулю радіуса r вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою
- •647. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагоналі
- •654. А) у циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, більша сторона основи якого дорівнює а.
- •658. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом а. Обчисліть
- •667. А) у кулю радіуса r вписано правильну трикутну піраміду з плоским кутом при вершині, що
- •671. А) у рівнобедреній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Бічна сторона дорівнює
- •673. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює ф. Знайдіть об'єм
- •676. А) в основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при вершині
- •680. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а, двогранні кути при основі ф. Знайдіть об'єм
- •689. А) Радіус основи конуса дорівнює r, а кут при вершині осьового перерізу — а. Знайдіть об'єм
- •693. A) у кулю, площа поверхні якої s, вписано конус. Кут між твірною конуса і площиною основи
- •701. А) у прямий круговий конус вписано кулю, радіус якої дорівнює 1 м. Знайдіть кут між твірною
- •704. А) Прямокутний трикутник з гострим кутом а і протилежним катетом а обертається навколо
- •706. А) Трикутник зі сторонами 12 см, 17 см і 15 см обертається навколо меншої сторони. Знайдіть
- •§1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі з
- •§ 2. Геометричні побудови 23
- •§1. Призма 38
2. Завдання підвищеного рівня ( №№ 551 — 59s )
551. а) У циліндрі на відстані 8 см від його осі і паралельно до неї проведено переріз, діагональ якого
дорівнює 13 см. Обчисліть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює 5 см.
б) У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого дорівнює 17 см. Висота циліндра — 15 см, а радіус основи — 5 см. На якій відстані віл. осі проведено цей переріз?
552. а) У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого утворює з площиною
нижньої основи кут ф. Цей переріз перетинає основу по хорді, яка стягує дугу а. Визначте бічну поверхню циліндра, якщо радіус його основи дорівнює R.
б) У нижній основі циліндра проведена хорда, довжина якої дорівнює а. Ця хорда стягує дугу а. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з серединою проведеної хорди, утворює з площиною основи кут ф. Визначте бічну поверхню циліндра.
553. а) У циліндрі паралельно його осі проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яку
видно із центра цієї основи під кутом а. Діагональ утвореного перерізу дорівнює b і нахилена до основи під кутом β. Визначте об'єм циліндра.
б) У циліндрі відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, нахилений до основи під кутом а. Визначте об'єм циліндра, якщо відстань від центра нижньої основи до середини цього відрізка дорівнює а.
554. а) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює половині площі його повної поверхні. Знаючи, що
діагональ осьового перерізу дорівнює 5 см, знайдіть повну поверхню циліндра.
б) Два циліндри мають однакові основи. Об'єм першого циліндра дорівнює 7,5 дм3, а його висота — 21 см. Висота другого циліндра дорівнює 7 см. Чому дорівнює об'єм другого циліндра?
555. а) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, яка перетинає основу по хордам, які
стягують дуги а. Визначте площу перерізу, якщо відрізок, який сполучає центр верхньої основи з серединою хорди нижньої основи, дорівнює l і утворює з площиною основи кут β.
б) У циліндрі з основою радіуса R паралельно до його осі проведено площину. Вона перетинає нижню основу по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом 2а. Відрізок, який з'єднує центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи утворює з площиною основи кут β. Визначте площу перерізу.
556. А) у нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані т від центра нижньої
основи. Її видно із цього центра під кутом β. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною нижньої основи кут а. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
б) У нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані d від центра верхньої основи. Із центра нижньої основи її видно під кутом ф. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з нижньою основою кут а. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
557. а) Циліндр перетнуто площиною, паралельною осі так,, що в перерізі утворився квадрат з діагоналлю а√2 см. Переріз відтинає від кола основи дугу в 60°. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
б) Циліндр перетнуто площиною, паралельною осі. Діагональ перерізу вдвічі більша, від радіуса основи, що дорівнює R. Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо переріз відтинає від кола основи його чверть.
558. а) Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом а. Знайдіть
об'єм циліндра, якщо периметр осьового перерізу дорівнює Р.
б) Діагоналі осьового перерізу циліндра перетинаються під кутом а. Периметр перерізу дорівнює Р. Знайдіть об'єм циліндра.
559. а) В основі циліндра проведено хорду, що стягує дугу а. Відрізок, який сполучає центр іншої
основи з серединою цієї хорди, дорівнює l i утворює з площиною основи кут β. Визначте об'єм циліндра.
б) В основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом β. Відстань від центра до хорди дорівнює d. Відрізок, який сполучає центр однієї основи з точкою кола іншої основи, утворює з площиною основи кут а. Визначте об'єм циліндра.
560. а) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка перетинає основу по хорді, що стягує дугу
β. Визначте площу бічної поверхні циліндра, якщо діагональ перерізу дорівнює а і утворює з площиною основи кут а.
б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка перетинає основу по хорді, довжина якої а. Ця хорда стягує дугу а. Визначте об'єм циліндра, якщо діагональ утвореного перерізу нахилена до основи під кутом β.
561. а) Паралельно осі циліндра проведено площину, що відтинає від кола основи дугу а. Діагональ
утвореного перерізу нахилена до основи під кутом β. Визначте площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R.
б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу β. Відрізок, який сполучає центр основи циліндра з точкою кола іншої основи, дорівнює а і утворює з площиною основи кут а. Визначте площу перерізу.
562. а) Паралельно осі циліндра, на відстані d від неї, проведено площину, яка відтинає від основи
дугу β. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом а. Визначте площу бічної поверхні циліндра.
б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу а. Діагональ утвореного перерізу дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом β. Визначте об'єм циліндра.
563. а) Паралельно осі циліндра проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яка стягує
дугу 2а. Діагональ перерізу утворює з площиною основи кут β, а його площа дорівнює S Визначте площу основи циліндра.
б) Паралельно осі циліндра, бічна поверхня якого дорівнює Q, проведено площину. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом β. Визначте площу перерізу, якщо відрізок, який сполучає центр основи циліндра з точкою кола іншої основи, утворює з площиною основи кут а.
564. а) У циліндрі паралельно оcі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
видно із центра цієї основи під кутом а. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо площа перерізу дорівнює Q, а кут між його діагоналлю і твірною циліндра дорівнює β.
б) У циліндрі паралельно осі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом β. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут а. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо площа перерізу S.