- •Затверджено Міністерством освіти України
- •1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі
- •А) жодної: б) одна; в) безліч; г) жодної або одна; д) одна або безліч.
- •Перетинаються;
- •16. А) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 37 — 118)
- •50. А) Три відрізки a1a2- в1в2, с1с2 не лежать в одній площині, перетинаються в точці о і цією
- •51. A) abcd — паралелограм, be і fd — перпендикуляри до площини abc. Доведіть, що площини
- •53. А) Відрізок вм перпендикулярний до площини прямокутника abcd. Доведіть, що пряма cd
- •108. А) Із точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі
- •109. А) Із точки, що знаходиться на відстані 24 см від площини, проведено до неї дві похилі, кут між
- •110. А) Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24 см. Належать двом перпендикулярним площинам.
- •111. А) Із кінців відрізка, що належать двом взаємно перпендикулярним площинам, до лінії перетину
- •112. А) Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані
- •113. А) Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну
- •115. А) Із точки до площини прямокутника зі сторонами 9 см і 12 см, проведено перпендикуляр,
- •116. А.) у прямокутній трапеції abcd бічні сторони — 24 см і 25 см. А більша діагональ bd є
- •117. А) Вершина с рівностороннього трикутника abc. Сторона якого 8 см. Віддалена від площини a
- •118. А) Через гіпотенузу ав прямокутного рівнобедреного трикутника abc проведено площину р під
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 119 — 185)
- •119. А) Пряма а паралельна до площини а. Через точки а і в прямої а проведено паралельні прямі,
- •121. А) Пряма не лежить у площині і паралельна до двох прямих цієї площини. Знайдіть відстань від
- •122. А) Точка лежить поза площиною прямого кута і знаходиться на відстані 8 см від кожної із сторін
- •123. А) Кінці відрізка довжиною 10 см лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах. Цей
- •124. А) Дві паралельні прямі ав і сd лежать у двох площинах, що перетинаються під кутом 60°.
- •125. А) Із точки м — середини бічної сторони ав рівнобедреної трапеції авсd до її площини
- •126. А) Площі двох рівнобедрених трикутників відповідно дорівнюють 15 см2 і 40 см2. Трикутники
- •127. А) На площині дано трапецію і точку поза нею, яка віддалена від кожної із сторін трапеції на
- •132. А) Із деякої точки простору до площини ромба, сторона якого дорівнює 5 см, а менша діагональ
- •133. А) Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см. Із середини більшої сторони прямокутника
- •134. А) Точка м знаходиться на відстані 3 см від кожної із вершин паралелограма, сторони якого
- •136. А} Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Деяка точка поза ромбом, віддалена від усіх його
- •137. А) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть найкоротшу відстань між діагоналлю куба і діагоналлю
- •138. А) Деяка точка рівновіддалена від сторін правильного трикутника на 49 см. Периметр трикутника
- •140. А) Всередині тригранного кута з прямими плоскими кутами взято точку. Знайдіть відстань від
- •142. А) Дві прямі належать двом перпендикулярним площинам, паралельні прямій перетину площин
- •152. А) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка простору рівновіддалена від
- •153. А} Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну із його
- •154. А) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього
- •155. А) у прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, ділить
- •156. А) Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого
- •157. А) Ортогональною проекцією чотирикутника, площа якого дорівнює 144 см2, є прямокутник,
- •173. А) Із точки d, що лежить на гіпотенузі ав прямокутного трикутника авс, проведено відрізок
- •179. А) у круг радіуса 8 см вписано прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює 30°. Із
- •180. А) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках а1, a2, a3; друга пряма — у
- •183. А) Із центра о квадрата abcd, діагональ якого дорівнює 16√2 см, проведено відрізок of
- •§ 2. Геометричні побудови
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 186 — 213)
- •189. А) Побудуйте лінію перетину площин abb1 і b1c1c в кубі abcda1b1c1d1.
- •190. A) Дано прямокутний паралелепіпед. Як розміщена пряма ab відносно грані dcc1d1?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 214 — 251)
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 252 — 265)
- •Розділ II. Координати і вектори в просторі
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 266 — 287)
- •274. А) Дано вектори а (4; -2; -4) та b(6; -3; 2). Обчисліть (a-b)2
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 288 — 327)
- •294 А) Дано куб авсdа1в1с1d1. Обчисліть кут між векторами вс1 і вк, де к— середина ребра dd1.
- •295 А) Мі n — середини ребер в1в і а1d1 куба авсdа1в1с1d1, ребро якого дорівнює 2а. Знайдіть
- •Розділ III. Многогранники §1. Призма
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 328 — 343)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 344 — 399)
- •350. А) у прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут а, а з площиною
- •372. А) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою, що дорівнює а і кутом при
- •373. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом
- •374. А) Основа прямої призми — ромб зі стороною а, кут між площинами двох бічних граней дорівнює
- •377. А) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Діагональ
- •394. А) Повна поверхня прямокутного паралелепіпеда, основою якого є квадрат, дорівнює 264 см2.
- •395. А) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 60 см2. Площа діагональних
- •396. А) Переріз прямокутного паралелепіпеда, проведеного через діагональ нижньої основи і кінець
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 400 — 417)
- •404. А) в основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми утворює з площиною основи
- •405. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині.
- •§ 2. Піраміда 1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 418 — 440)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 441 — 495)
- •449. А) у правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте повну поверхню
- •451. А) у правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут а. Визначте повну поверхню
- •452. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте бічну
- •455. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Відстань
- •471. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •474. А) в основі піраміди лежить ромб із стороною а і гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •475. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Бічна грань,
- •476. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом а. Бічна грань, що містить
- •478. А) Основою піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює s. Одна бічна грань піраміди
- •479. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а Бічна грань,
- •482. А) Основа піраміди — правильний трикутник із стороною а. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до основи,
- •484. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього
- •485. А) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Бічна грань, яка містить
- •486. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •487. А) Кожне бічне бічне ребро піраміди дорівнює 2√41 см. Основа піраміди — прямокутний
- •489. А) Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 дм, 20 дм, 21 дм. Обчисліть об'єм піраміди,
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 496 — 531)
- •512. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Дві бічні грані, що містять
- •513. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Дві бічні грані, що містять сторони гострого
- •515. А) в основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні суміжні грані піраміди перпендикулярні до основи,
- •516. А) в основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •519. А) в основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а. Всі бічні
- •520. О) в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція з бічною стороною с і гострим кутом a. Бічна
- •529. А.) Довжини сторін основ, і висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди відносяться як
- •9 : 6 : 2. Площа бічної поверхні — 3 дм2. Знайдіть, площу повної поверхні.
- •530. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з бічних граней — рівнобедрений
- •531. А) Правильна п'ятикутна піраміда sавсdе перетинається площиною, що проходить через вершини
- •Розділ IV. Тіла обертання
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 532 — 550)
- •2. Завдання підвищеного рівня ( №№ 551 — 59s )
- •556. А) у нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані т від центра нижньої
- •565. А) Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
- •567. А) Знайдіть найбільший об'єм циліндра, площа повної поверхні якого дорівнює 54п см2, якщо
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 599 — 614)
- •Завдання підвищеного рівня (№№ 615 — 637)
- •620. А) в основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною
- •622. А) Основа прямої призма — прямокутник зі стороною а і кутом ос, який утворює ця сторона з
- •Завдання поглибленого рівня (№№ 638 — 710)
- •643. А) у кулю радіуса r вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою
- •647. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагоналі
- •654. А) у циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, більша сторона основи якого дорівнює а.
- •658. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом а. Обчисліть
- •667. А) у кулю радіуса r вписано правильну трикутну піраміду з плоским кутом при вершині, що
- •671. А) у рівнобедреній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Бічна сторона дорівнює
- •673. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює ф. Знайдіть об'єм
- •676. А) в основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при вершині
- •680. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а, двогранні кути при основі ф. Знайдіть об'єм
- •689. А) Радіус основи конуса дорівнює r, а кут при вершині осьового перерізу — а. Знайдіть об'єм
- •693. A) у кулю, площа поверхні якої s, вписано конус. Кут між твірною конуса і площиною основи
- •701. А) у прямий круговий конус вписано кулю, радіус якої дорівнює 1 м. Знайдіть кут між твірною
- •704. А) Прямокутний трикутник з гострим кутом а і протилежним катетом а обертається навколо
- •706. А) Трикутник зі сторонами 12 см, 17 см і 15 см обертається навколо меншої сторони. Знайдіть
- •§1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі з
- •§ 2. Геометричні побудови 23
- •§1. Призма 38
404. А) в основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми утворює з площиною основи
кут а, а діагональ однієї з бічних граней дорівнює l і утворює з площиною основи кут ф. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β, а діагональ однієї з бічних граней нахилена до площини основи під кутом ф. Обчисліть об'єм призми.
405. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині.
Площа перерізу, що проходить через бічну сторону нижньої основи та протилежну вершину основи, утворює з основою кут ф. Знайдіть об'єм призми.
б) Висота прямої призми, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при вершині, дорівнює Н. Площина перерізу, що проходить через бічну сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи, утворює з площиною основи кут ф. Знайдіть об'єм призми.
406. а) Площі двох граней прямокутного паралелепіпеда відносяться як 2 : 5. Діагоналі цих граней
10 см і 17 см. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.
б) Площі діагональних перерізів похилого паралелепіпеда 105 см2 і 135 см2, площі бічних граней відносяться як 4 : 7. Знайдіть площу бічної поверхні.
407. а) В основі прямої призми лежить ромб зі стороною а. Діагоналі призми утворюють з площиною
основи кути а і β. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб, менша діагональ якого дорівнює d. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут ф, а діагональ бічної грані — кут . Знайдіть об'єм призми.
408. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а,
причому діагоналі трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною d і тупим кутом β, причому діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Діагональ призми нахилена до площини основи під кутом ф. Знайдіть об'єм призми.
409. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з гострим кутом а і меншою основою а.
Діагоналі трапеції є бісектрисами гострих кутів. Діагональ призми нахилена до площини основи під кутом ф. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом β і більшою основою b. Діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута, менша діагональ призми утворює з площиною основи кут ф. Знайдіть об'єм призми.
410. а) Основою правильної призми є шестикутник із стороною 3 дм; висота призми дорівнює 13 дм.
Знайдіть площу перерізу, проведеного через дві протилежні сторони верхньої і нижньої основ призми.
б) Правильна шестикутна призма, в якої бічні грані — квадрати, перетинається площиною, що проходить через сторони нижньої основи і протилежну їй сторону верхньої основи. Сторона основи дорівнює 5 дм. Знайдіть площу утвореного перерізу.
411. а) Площа бічної поверхні правильної шестикутної призми дорівнює Q. Знайдіть площу перерізу
призми площиною, що перпендикулярна до більшої діагоналі основи і ділить її у відношенні 1:1.
б) Бічна грань правильної шестикутної призми — квадрат, що має периметр 8 см. Знайдіть площу перерізу, проведеного через діагоналі паралельних бічних граней призми.
412. а) Основа призми АВСА1В1С1 — правильний трикутник ABC. Вершина А1 проектується в центр
нижньої основи. Доведіть, що бічне ребро АА1 утворює зі сторонами основи АВ і АС рівні кути.
б) Основа призми ABCA1B1C1 — правильний трикутник ABC. Бічне ребро АА1 утворює зі сторонами основи АВ і АС рівні кути. Доведіть, що проекція вершини А1 лежить на бісектрисі кута ВАС.
413. а) Основою похилої призми є правильний трикутник із стороною, що дорівнює а. Довжина
бічного ребра b, а одне з бічних ребер утворює з прилеглими сторонами кути 450. Знайдіть об'єм призми.
б) Основою похилої призми ABCA1B1C1 є правильний трикутник ABC із стороною а. Вершина А, проектується в центр нижньої основи, а ребро АА1 нахилене до площини основи під кутом 60°. Знайдіть бічну поверхню призми.
414. а) Основою похилого паралелепіпеда є ромб ABCD зі стороною, що дорівнює о, і гострим кутом
60°. Ребро АА1 також дорівнює а і утворює з ребрами АВ і AD кути 45°. Визначте об'єм паралелепіпеда.
б) Основа призми — паралелограм з гострим кутом, що дорівнює а. Бічне ребро проходить через вершину даного кута а, дорівнює b і утворює з прилеглими сторонами рівні кути, кожний з яких дорівнює β. Знайдіть висоту призми.
415. а) У похилій трикутній призмі дві бічні грані взаємно перпендикулярні, а їх спільне ребро має
довжину 24 м і віддалене від двох інших ребер на відстань 12м і 35 м. Обчисліть площу бічної поверхні призми.
б) Відстані між бічними ребрами похилої трикутної призми дорівнюють 10 см, 10 см і 12 см. Бічне ребро має довжину 15 см, довжина його проекції на площину основи — 9 см. Обчисліть площу повної поверхні призми.
416. а) У зрізаному паралелепіпеді три бічні ребра мають довжини 15 см, 23 см, 18 см відповідно.
Визначте четверте бічне ребро.
б) У зрізаній правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює а; з бічних ребер — два суміжних мають довжину b, два інших — довжину с. Визначте об'єм і бічну поверхню цієї зрізаної призми.
417. а) Основа прямої зрізаної призми — прямокутний трикутник АВС, в якому катет АС = 15 см і
катет ВС = 20 см. Бічні ребра ВВ1 і СС1 мають по 10 см, а АА1 = 18 см. Визначте об'єм і повну поверхню цієї зрізаної призми. б) У прямій трикутній зрізаній призмі бічні ребра дорівнюють 17 см, 25 см і 30 см, а відстані між ними відповідно — 18 см, 20 см і 34 см. Визначте об'єм і площу бічної поверхні цієї зрізаної призми.