1. Перетинаються;

Б) паралельні;

В) мимобіжні.

Через точку О, розміщену між паралель­ними площинами а і β проведено дві прямі, які перетинають площини в точках А і А₁, В і В₁. Як розміщені прямі АВ і А₁В₁?

A) паралельні;

Б) перетинаються;

B) мимобіжні.

б)

На малюнку АА₁||СС₁ ,АА₁||ВВ₁, ВВ₁ = СС₁. Доведіть, що В₁С₁ = ВС.

На малюнку А₁С₁ = АС, А₁С₁ || АС, В₁А₁ = ВА, В₁А₁ || ВА. Доведіть, що СС₁||ВВ₁.

10. а) Точка S знаходиться поза площиною трикутника АВС. Точки А₁, В₁, С₁ відповідно є серединами

відрізків SA,SB,SC. Визначіть взаємне розміщення площин АВС і А₁В₁С₁.

А) паралельні; Б) співпадають; В) перетинаються.

б) У тетраедрі SKMN F — середина MN, Р — середина SN, О — середина KN. Визначіть взаємне розміщення площин КSМ і ОPF.

А) перетинаються; Б) паралельні; В) співпадають.

11. а) Пряма а не лежить у площині а. Скільки всього різних прямих, які мимобіжні з прямою а,

проходить через точку, взяту в площині а?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч.

б) Три вершини паралелограма лежать у площині а. Як розміщена четверта вершина паралелограма відносно площини а?

А) лежить у площині а; Б) не лежить у площині а.

12. а) Діагональ і сторона трапеції паралельні площині а. Як розміщені площина а і площина, в якій

лежить трапеція?

А) перетинаються, Б) паралельні; В) співпадають.

б) Дано дві мимобіжні прямі а і b. Точки А і В лежать на прямій а, точки С і D — на прямій b. Яке взаємне розміщення прямих АС і BD?

А) паралельні; Б) мимобіжні; В) перетинаються.

13. а) Дано дві мимобіжні прямі а і b. Скільки всього існує різних площин, які проходять через а і

паралельні прямій b ?

А) дві; Б) одна; В) жодної; Г) безліч; Д) жодної або безліч.

б) Дано дві площини а і β, які перетинаються. Точка М не належить жодній із них. Скільки існує прямих, які проходять через М і паралельні а і β?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або одна; Д) жодної або безліч.

14. а) Пряма а паралельна прямій b, а пряма b перетинається з площиною а. Яке взаємне розміщення

прямої а і площини а?

А) перетинаються; Б) паралельні; В) інша відповідь.

б) Площина а паралельна прямій b, а пряма b паралельна площині у, відмінної від а. Яке взаємне розміщення площин а і у?

А) перетинаються; Б) паралельні; В) інша відповідь.

16. а) Площини а і β перетинаються по прямій с. У площині а проведено пряму а, яка паралельна прямій с. Яке взаємне розміщення прямої а і площини β?

А) пряма а перетинає площину β; Б) пряма а лежить у площині β; В) пряма а паралельна площині β.

б) Трикутники ABC і АВD лежать у різних площинах. Точки Мі N — середини сторін АС і ВС трикутника ABC. Яке взаємне розміщення прямої MN і площини трикутника ABD?

А) пряма MN паралельна площині ABD; Б) пряма MN перетинає площину ABD.

16. А) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?

А) одна; Б) безліч; В) дві; Г) одна або безліч.

б) Дано площину а і пряму а, яка їй не належить. Скільки всього існує різних площин, які проходять через а і паралельні площині а?

А) безліч; Б) дві; В) одна або жодної.

17. а) Дано дві Паралельні площини а і β. Точка М не лежить ні на одній із них. Скільки всього існує

прямих, які проходять через М і паралельні площині а і β?

А) одна; Б) дві; В) безліч.

б) Відомо, що пряма а паралельна прямій b, а пряма b паралельна площині у. Яке взаємне розміщення прямої а і площини у?

А) паралельні; Б) перетинаються; В) інша відповідь.

18. а) Відомо, що пряма а перпендикулярна до площини β, а площина β паралельна до прямої с. Яке

взаємне розміщення прямих а і с?

А) перпендикулярні; Б) паралельні; В)мимобіжні; Г) інша відповідь.

б) Відомо, що пряма а перпендикулярна до прямої b, а пряма b паралельна прямій с. Яке взаємне розміщення прямих а і c?

А) паралельні; Б) мимобіжні; В) перпендикулярні; Г) інша відповідь.

19. а) Вкажіть, яким граням куба ABCDA₁B₁C₁D₁ паралельна пряма A₁B₁?

A) ABCD; DD₁C₁C; Б) AA₁D₁D; ВВ₁С₁С; В) B₁C₁D₁A₁; ADD₁A₁; Г) інша відповідь.

б) Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки М і К — середини відрізків AB₁ і В₁С. Як розміщена пряма МК відносно площини грані ABCD?

А) перетинає грань; Б) перпендикулярна до грані; В) паралельна грані; Г) лежить у площині грані.

20. а) Дано пряму а і точку М. Скільки існує різних прямих, які проходять через М, перетинають пряму а і перпендикулярні до неї?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч; Д) одна або безліч.

б) Дані точка М і площина а, Скільки існує площин, які проходять через М і перпендикулярні до а?

А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч; Д) одна або жодної.

21. а) Пряма MB перпендикулярна до сторін АВ і ВС трикутника ABC. Яким є трикутник MBD, де

D — довільна точка сторони АС?

А) прямокутний; Б) гострокутний; В) тупокутний.

б) Пряма КО перпендикулярна до діагоналей AC і BD квадрата ABCD, які перетинаються точці О.

Яким є трикутник КОМ, де М — довільна точка АВ?

А) гострокутний; Б) прямокутний; В) тупокутний.

22. а) Площина а перпендикулярна до прямої b, а пряма паралельна прямій с. Яке взаємне розміщення

площини а і прямої с?

А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) інша відповідь; Г) паралельні або перетинаються.

б) Площина а паралельна прямій b, а пряма b перпендикулярна до площини ф. Яке взаємне розміщення площин а і ф?

А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) інша відповідь; Г) паралельні або перетинаються.

23. а) До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB. Точка S сполучена з вершиною А

квадрата. Визначте, яким є трикутник SAD.

А) прямокутний; Б) гострокутний; В) тупокутний.

б) Дано прямокутний трикутник ABC з прямим кутом С. ВМ — перпендикуляр до площини трикутника ABC. Визначте, яким є трикутник МАС.

А) тупокутний; Б) прямокутний; В) гострокутний.

24. а) Кут ABC — лінійний кут двогранного кута з ребром т. Яке взаємне розміщення прямої т і

площини ABC?

А) пряма і площина паралельні; Б) пряма і площина перпендикулярні; В) пряма т лежить у площині.

б) Кут MKN — лінійний кут двогранного кута з ребром с. Яке взаємне розміщення площини MKN і прямої с?

А) пряма лежить у площині; Б) пряма паралельна площині; В) пряма перпендикулярна до

площини.

25. а) Відомо, що площина а перпендикулярна до прямої b, а пряма b перпендикулярна до площини у. Яке взаємне розміщення площин а і у?

А) паралельні; Б) співпадають; В) перетинаються.

б) Відомо, що пряма а перпендикулярна до прямої b, а пряма b перпендикулярна до площини ф. Яке взаємне розміщення прямої а і площини ф?

А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) інша відповідь.

26. а) Дано три різні площини а, β і ф. Відомо, що а перпендикулярна до β, а β перпендикулярна до ф. Яке взаємне розміщення площин а і ф?

А) перпендикулярні; Б) паралельні; В) інша відповідь.

б) Прямі а і b перпендикулярні до площини а. Яке взаємне розміщення прямих?

А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) мимобіжні.

27. а)

б)

На малюнку площина а паралельна сторо­ні АВ трикутника ABC і перетинає його сторони в точках М і К. М — середина АС. Знайти МК, якщо АВ = 20 см.

На малюнку площина а, паралельна основі трапеції, перетинає сторони АВ і СD в точках М і К відповідно. М — середина АВ. АD = 10 см, ВС = 4 см. Знайти МК.

А) 40 см; Б) 10 см; В) 5 см.

А) 8 см; Б) 7 см; В) 14 см.

28. а) Кінці ребер куба, які виходять із одної вершини, сполучено відрізками. Площа трикутника,

який утворився при цьому, дорівнює √12см². Знайдіть довжину ребра куба.

А) 2√2см: Б) 4√2см; В) 2√3 см; Г) інша відповідь.

б) Із точки поза даною площиною проведено до неї перпендикуляр довжиною 6 см і похилу довжиною 9 см. Знайдіть довжину проекції перпендикуляра на похилу.

А) З√2 см; Б) 4 см; В) 6√2 см; Г) інша відповідь.

29. а) Із точки А до площини проведено перпендикуляр і похилу, довжина якої 20 см. Кут між похилою

і площиною 60°. Знайдіть довжину перпендикуляра.

А) 10 см; Б) 10√2 см; В) 10√Зсм; Г)√20 см; Д) інша відповідь.

б) Із точки М до площини проведено перпендикуляр і похилу, кут між якими 60°. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра 20 см.

А) 20√2 см; Б) 10√3см; В) 20√3 см; Г) 40 см; Д) інша відповідь.

30. а) Двогранний кут дорівнює 45⁰. На одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані 8 см

від другої грані. Знайдіть відстань від цієї точки до ребра кута.

А) 8√2 см; Б) 4√2 см; В) 8 см; Г) 4 см; Д) інша відповідь.

б) Точка, взята на одній із граней двогранного кута, знаходиться від ребра на відстані в 2 рази більшій, ніж від другої грані. Знайдіть величину двогранного кута.

А) 90⁰: Б) 45°; В) 60°; Г) 30°; Д) інша відповідь.

31. а) Відстань від точки М до сторін квадрата дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від точки М до

площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см.

А) 8 см; Б) 11 см; В) 12 см; Г ) 14 см; Д) 15 см.

б) Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює 6 см.

А) 3 см; Б) 4 см; В) 2 см; Г) 5 см; Д) 8 см.

32. а) Точка О — центр квадрата зі стороною 4 см. АО — пряма, що перпендикулярна до площини

квадрата; АО = 2√2 см. Знайдіть відстань від точки А до вершин квадрата.

А) 4 см; Б) 4√2 см; В) 8√2 см; Г) інша відповідь.

б) Точка О — центр квадрата АВСD. ОМ — перпендикуляр до площини АВСD, АВ = 8 см. Пряма МА нахилена до площини квадрата під кутом 60°. Знайдіть відстань між точками М і В.

А)2√2см; Б) 8√2 см; В) 4√2 еж; Г) інша відповідь.

33. а) Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Із вершини більшого кута трикутника

до його площини проведено перпендикуляр АD, який дорівнює 15 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони ВС трикутника.

А)√241 см; Б) 17 см; В) інша відповідь.

б) АВСD — прямокутник, МА — перпендикуляр до площини прямокутника, ﮮМСА = 60°. DС = 3 см, С В = 4 см. Знайдіть площу трикутника МВС.

А) 4√21 см²; Б) 8√21 см²;В) інша відповідь.

34. а) Точка О — центр правильного трикутника АВС, ОМ — перпендикуляр до площини АВС і

ОМ=√3 см, АВ = 3√3см. Знайдіть кут нахилу МА до площини трикутника АВС.

А) 60°; Б) 30°; В) 45°; Г) інша відповідь.

б) АВСD — прямокутник, МА — перпендикуляр до площини АВСD, DС =√2 см, СВ = 1 см, ﮮMСА = 30°. Знайдіть МА.

А) 1 см, Б) √з см; В) см; Г) інша відповідь.

35. а) Дано трикутник АВС. Площина а, паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС в точці К, а сторону ВС — у точці М. Знайдіть АВ, якщо КС = 12 см, АС = 18 см, КМ = 36 см.

А) 24 см; Б) 54 см; В) 18 см; Г) інша відповідь.

б) Дві паралельні площини а і β перетинають сторону ВА кута АВС в точках D і D₁, а сторону ВС відповідно в точках Е і E₁. Знайдіть довжину DE, якщо BD= 12 см, ВD₁, = 18 см; D₁E₁ = 54 см.

А) 36 см; Б) 24 см; В) 18 см; Г) інша відповідь.

36. а) До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр DМ. Сторона квадрата дорівнює 5 см.

Знайдіть довжину проекції похилої MВ.

А) 5√2 см; Б) 5 см; В) 7 см; Г) інша відповідь.

б) До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр DМ довжиною 12 см. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть довжини похилих МА і МС.

А) 15 см; Б) 13 см; В) 12 см; Г) інша відповідь.