- •Затверджено Міністерством освіти України
- •1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі
- •А) жодної: б) одна; в) безліч; г) жодної або одна; д) одна або безліч.
- •Перетинаються;
- •16. А) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 37 — 118)
- •50. А) Три відрізки a1a2- в1в2, с1с2 не лежать в одній площині, перетинаються в точці о і цією
- •51. A) abcd — паралелограм, be і fd — перпендикуляри до площини abc. Доведіть, що площини
- •53. А) Відрізок вм перпендикулярний до площини прямокутника abcd. Доведіть, що пряма cd
- •108. А) Із точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі
- •109. А) Із точки, що знаходиться на відстані 24 см від площини, проведено до неї дві похилі, кут між
- •110. А) Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24 см. Належать двом перпендикулярним площинам.
- •111. А) Із кінців відрізка, що належать двом взаємно перпендикулярним площинам, до лінії перетину
- •112. А) Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані
- •113. А) Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну
- •115. А) Із точки до площини прямокутника зі сторонами 9 см і 12 см, проведено перпендикуляр,
- •116. А.) у прямокутній трапеції abcd бічні сторони — 24 см і 25 см. А більша діагональ bd є
- •117. А) Вершина с рівностороннього трикутника abc. Сторона якого 8 см. Віддалена від площини a
- •118. А) Через гіпотенузу ав прямокутного рівнобедреного трикутника abc проведено площину р під
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 119 — 185)
- •119. А) Пряма а паралельна до площини а. Через точки а і в прямої а проведено паралельні прямі,
- •121. А) Пряма не лежить у площині і паралельна до двох прямих цієї площини. Знайдіть відстань від
- •122. А) Точка лежить поза площиною прямого кута і знаходиться на відстані 8 см від кожної із сторін
- •123. А) Кінці відрізка довжиною 10 см лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах. Цей
- •124. А) Дві паралельні прямі ав і сd лежать у двох площинах, що перетинаються під кутом 60°.
- •125. А) Із точки м — середини бічної сторони ав рівнобедреної трапеції авсd до її площини
- •126. А) Площі двох рівнобедрених трикутників відповідно дорівнюють 15 см2 і 40 см2. Трикутники
- •127. А) На площині дано трапецію і точку поза нею, яка віддалена від кожної із сторін трапеції на
- •132. А) Із деякої точки простору до площини ромба, сторона якого дорівнює 5 см, а менша діагональ
- •133. А) Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см. Із середини більшої сторони прямокутника
- •134. А) Точка м знаходиться на відстані 3 см від кожної із вершин паралелограма, сторони якого
- •136. А} Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Деяка точка поза ромбом, віддалена від усіх його
- •137. А) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть найкоротшу відстань між діагоналлю куба і діагоналлю
- •138. А) Деяка точка рівновіддалена від сторін правильного трикутника на 49 см. Периметр трикутника
- •140. А) Всередині тригранного кута з прямими плоскими кутами взято точку. Знайдіть відстань від
- •142. А) Дві прямі належать двом перпендикулярним площинам, паралельні прямій перетину площин
- •152. А) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка простору рівновіддалена від
- •153. А} Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну із його
- •154. А) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього
- •155. А) у прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, ділить
- •156. А) Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого
- •157. А) Ортогональною проекцією чотирикутника, площа якого дорівнює 144 см2, є прямокутник,
- •173. А) Із точки d, що лежить на гіпотенузі ав прямокутного трикутника авс, проведено відрізок
- •179. А) у круг радіуса 8 см вписано прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює 30°. Із
- •180. А) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках а1, a2, a3; друга пряма — у
- •183. А) Із центра о квадрата abcd, діагональ якого дорівнює 16√2 см, проведено відрізок of
- •§ 2. Геометричні побудови
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 186 — 213)
- •189. А) Побудуйте лінію перетину площин abb1 і b1c1c в кубі abcda1b1c1d1.
- •190. A) Дано прямокутний паралелепіпед. Як розміщена пряма ab відносно грані dcc1d1?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 214 — 251)
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 252 — 265)
- •Розділ II. Координати і вектори в просторі
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 266 — 287)
- •274. А) Дано вектори а (4; -2; -4) та b(6; -3; 2). Обчисліть (a-b)2
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 288 — 327)
- •294 А) Дано куб авсdа1в1с1d1. Обчисліть кут між векторами вс1 і вк, де к— середина ребра dd1.
- •295 А) Мі n — середини ребер в1в і а1d1 куба авсdа1в1с1d1, ребро якого дорівнює 2а. Знайдіть
- •Розділ III. Многогранники §1. Призма
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 328 — 343)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 344 — 399)
- •350. А) у прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут а, а з площиною
- •372. А) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою, що дорівнює а і кутом при
- •373. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом
- •374. А) Основа прямої призми — ромб зі стороною а, кут між площинами двох бічних граней дорівнює
- •377. А) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Діагональ
- •394. А) Повна поверхня прямокутного паралелепіпеда, основою якого є квадрат, дорівнює 264 см2.
- •395. А) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 60 см2. Площа діагональних
- •396. А) Переріз прямокутного паралелепіпеда, проведеного через діагональ нижньої основи і кінець
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 400 — 417)
- •404. А) в основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми утворює з площиною основи
- •405. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині.
- •§ 2. Піраміда 1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 418 — 440)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 441 — 495)
- •449. А) у правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте повну поверхню
- •451. А) у правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут а. Визначте повну поверхню
- •452. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте бічну
- •455. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Відстань
- •471. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •474. А) в основі піраміди лежить ромб із стороною а і гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •475. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Бічна грань,
- •476. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом а. Бічна грань, що містить
- •478. А) Основою піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює s. Одна бічна грань піраміди
- •479. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а Бічна грань,
- •482. А) Основа піраміди — правильний трикутник із стороною а. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до основи,
- •484. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього
- •485. А) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Бічна грань, яка містить
- •486. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •487. А) Кожне бічне бічне ребро піраміди дорівнює 2√41 см. Основа піраміди — прямокутний
- •489. А) Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 дм, 20 дм, 21 дм. Обчисліть об'єм піраміди,
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 496 — 531)
- •512. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Дві бічні грані, що містять
- •513. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Дві бічні грані, що містять сторони гострого
- •515. А) в основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні суміжні грані піраміди перпендикулярні до основи,
- •516. А) в основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •519. А) в основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а. Всі бічні
- •520. О) в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція з бічною стороною с і гострим кутом a. Бічна
- •529. А.) Довжини сторін основ, і висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди відносяться як
- •9 : 6 : 2. Площа бічної поверхні — 3 дм2. Знайдіть, площу повної поверхні.
- •530. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з бічних граней — рівнобедрений
- •531. А) Правильна п'ятикутна піраміда sавсdе перетинається площиною, що проходить через вершини
- •Розділ IV. Тіла обертання
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 532 — 550)
- •2. Завдання підвищеного рівня ( №№ 551 — 59s )
- •556. А) у нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані т від центра нижньої
- •565. А) Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
- •567. А) Знайдіть найбільший об'єм циліндра, площа повної поверхні якого дорівнює 54п см2, якщо
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 599 — 614)
- •Завдання підвищеного рівня (№№ 615 — 637)
- •620. А) в основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною
- •622. А) Основа прямої призма — прямокутник зі стороною а і кутом ос, який утворює ця сторона з
- •Завдання поглибленого рівня (№№ 638 — 710)
- •643. А) у кулю радіуса r вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою
- •647. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагоналі
- •654. А) у циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, більша сторона основи якого дорівнює а.
- •658. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом а. Обчисліть
- •667. А) у кулю радіуса r вписано правильну трикутну піраміду з плоским кутом при вершині, що
- •671. А) у рівнобедреній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Бічна сторона дорівнює
- •673. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює ф. Знайдіть об'єм
- •676. А) в основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при вершині
- •680. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а, двогранні кути при основі ф. Знайдіть об'єм
- •689. А) Радіус основи конуса дорівнює r, а кут при вершині осьового перерізу — а. Знайдіть об'єм
- •693. A) у кулю, площа поверхні якої s, вписано конус. Кут між твірною конуса і площиною основи
- •701. А) у прямий круговий конус вписано кулю, радіус якої дорівнює 1 м. Знайдіть кут між твірною
- •704. А) Прямокутний трикутник з гострим кутом а і протилежним катетом а обертається навколо
- •706. А) Трикутник зі сторонами 12 см, 17 см і 15 см обертається навколо меншої сторони. Знайдіть
- •§1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі з
- •§ 2. Геометричні побудови 23
- •§1. Призма 38
2. Завдання підвищеного рівня (№№ 344 — 399)
344. а) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від вершини куба до його діагоналі.
б) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від діагоналі до ребра, яке її не перетинає.
345. а) Сторони основи прямокутного паралелепіпеда відносяться як 1 : 7, довжини діагоналей бічних
граней дорівнюють 13 см та 37 см. Визначте площу повної поверхні паралелепіпеда.
б) Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда — 57 см, його розміри відносяться як 6 :10:15. Визначте площу повної поверхні паралелепіпеда.
346. а,) Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда більша від його розмірів на 20 см, 9 см та
5 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
б) Довжина бічного ребра прямокутного паралелепіпеда — 6 см, довжина діагоналі паралелепіпеда в 2 рази менша від периметра основи. Визначте об'єм паралелепіпеда.
347. а) Знайдіть відношення об'єму куба до об'єму правильного тетраедра, ребро якого дорівнює
діагоналі куба.
б) Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 13 см, а діагоналі його бічних граней — 4√10 см і 3√17 см. Визначте об'єм паралелепіпеда.
348. о,) Основа прямого паралелепіпеда — ромб з гострим кутом 60° і більшою діагоналлю 6√3 см;
менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.
б) Кут між діагоналями основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює 30°. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть висоту паралелепіпеда, якщо об'єм дорівнює 18 см3.
349. а) Сторони основи прямокутного паралелепіпеда (2 - √2) см і (2 +√ 2) см, а його діагональ
нахилена до основи під кутом 60°. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.
б) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, діагоналі якого відносяться як 5 : 2. Знаючи, що діагоналі паралелепіпеда дорівнюють 17 дм і 10 дм, визначте об'єм паралелепіпеда.
350. А) у прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут а, а з площиною
бічної грані кут β. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
б) Кут між двома діагоналями основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює а. Діагональ паралелепіпеда дорівнює l і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
351. а) У прямокутному паралелепіпеді діагональ утворює з основою кут β. Кут між діагоналлю
основи і її стороною а. Визначте бічну поверхню паралелепіпеда.
б) У прямокутному паралелепіпеді діагональ нахилена до площини основи під кутом β. Кут між діагоналями основи дорівнює а. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.
352. б) Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Площі діагональних перерізів дорівнюють 6 см2 і
8 см2. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.
б) Знайдіть об'єм прямого паралелепіпеда, знаючи, що висота його дорівнює √3 см, а діагоналі утворюють з основою кути 45° і 60°, і основою є ромб.
353. а) У прямому паралелепіпеді сторони основи 10 см і 17 см, одна з діагоналей основи дорівнює
21 см. Більша діагональ паралелепіпеда — 29 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
б) У прямому паралелепіпеді сторони основи дорівнюють 2√2 см і 5 см і утворюють кут 45°, менша діагональ паралелепіпеда дорівнює 7 см. Визначте його повну поверхню.
354. а) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площі діагональних перерізів якого дорівнюють S і
Q. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.
б) Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 20 см2, 28 см2 і 35 см2. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
355. a) В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб з гострим кутом у. Діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом а, а площа цієї грані Q. Знайдіть повну поверхню цього паралелепіпеда.
б) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагоналлю l. Через цю діагональ і вершину верхньої основи призми проведено площину, яка перетинає дві суміжні бічні грані призми по прямих, що утворюють між собою кут а, а з площиною основи кут β. Знайдіть бічну поверхню призми.
356. а) Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює 32 см2, а повна поверхня — 40 см2.
Знайдіть висоту призми.
б) Визначте повну поверхню призми, бічні грані якої є квадратами, а її основою є правильний трикутник, описаний навколо кола радіуса r.
357. а) Площина, що проходить через сторону основи правильної трикутної призми і середину
протилежного ребра, утворює з основою кут 45°. Сторона основи дорівнює а. Обчисліть площу бічної поверхні призми.
б) Через діагональ нижньої і вершину верхньої основи правильної чотирикутної призми проведено площину, яка перетинає дві суміжні бічні грані призми по прямих, що утворюють між собою кут 60°. Обчисліть бічну поверхню призми, якщо сторона основи дорівнює а.
358. а) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом
а. Обчисліть площу повної поверхні, якщо площа основи дорівнює S.
б) У правильній чотирикутній призмі діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом β. Обчисліть площу повної поверхні, якщо площа основи дорівнює Q.
359. а) Бічне ребро правильної трикутної призми дорівнює висоті основи, а площа перерізу, проведеного
через це бічне ребро і висоту основи, дорівнює Q. Обчисліть об'єм призми.
б) Площі бічних граней прямої трикутної призми дорівнюють 13 м2, 14 м2 і 15 м2, а бічне ребро її —
l. Обчисліть об'єм призми.
360. a) Діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут а. Обчисліть бічну поверхню призми.
б) Діагональ бічної грані правильної трикутної призми утворює з бічним ребром кут β. Радіус кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює R. Обчисліть бічну поверхню призми.
361. а) Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює l і утворює з площиною основи кут β.
Визначте площу бічної поверхні призми.
б) У правильній чотирикутній призмі висота дорівнює Н. Діагональ призми утворює з бічним ребром кут у. Обчисліть площу бічної поверхні призми.
362. а) У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Площа перерізу,проведеного через бічне ребро і меншу висоту основи, — 72 см2. Знайдіть бічну поверхню призми.
б) У прямій трикутній призмі сторони основи відносяться як 17 : 10 : 9, а бічне ребро дорівнює 16 см.
Повна поверхня цієї призми дорівнює 1440 см2. Знайдіть її бічну поверхню.
363. а)В основі прямої призми лежить паралелограм зі сторонами 3√2 см і та кутом,45°.
Площа бічної поверхні призми в 4 рази більша від площі її основи. Знайдіть висоту призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений прямокутний трикутник, площа якого —18 см2. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо її висота дорівнює (2 -√2 ) см.
364. а) Площа найбільшого діагонального перерізу правильної шестикутної призми дорівнює 1 м2.
Обчисліть бічну поверхню призми.
б) У правильній шестикутній призмі велика діагональ дорівнює 4√3 см і нахилена до основи під кутом 60°. Знайдіть площу повної поверхні призми.
365. а) У правильній трикутній призмі сума ребер, що виходять з однієї вершини, дорівнює 2 см. При
якій величині кута, утвореного діагоналлю бічної грані з площиною основи призми, площа бічної поверхні буде найбільшою? б) У правильній чотирикутній призмі периметр діагонального перерізу дорівнює 6 см. При якій величині кута, утвореного діагоналлю призми з її площиною основи, об'єм призми буде найбільшим?
366. а) У правильній трикутній призмі довжина діагоналі бічної грані дорівнює √3 см. При якій
довжині висоти призми об'єм її буде найбільшим?
б) У правильній чотирикутній призмі довжина діагоналі дорівнює 2√з см. При якій довжині висоти об'єм призми буде найбільшим?
367. а) Діагональ правильної чотирикутної призми нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть
площу перерізу, що проходить через сторону нижньої основи і протилежну сторону верхньої основи, якщо діагональ основи дорівнює 4√2 см.
б) У правильній чотирикутній призмі через діагональ основи проведено переріз паралельно діагоналі призми. Знайдіть площу перерізу, якщо сторона основи призми дорівнює 2 см, а її висота — 4 см.
368. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з гострим кутом 60° і бічною стороною
4 см. Діагоналі трапеції є бісектрисами гострих кутів. Діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 45°. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом 120° і меншою основою 3 см. Діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть об'єм призми.
369. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, в якої діагональ дорівнює а і кут між
діагоналлю і більшою основою дорівнює а. Діагональ призми нахилена до основи під кутом β. Знайдіть об'єм призми.
б) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагональ грані, протилежної до даного кута, дорівнює l і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм призми.
370. а) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гострим кутом а і площею S.
Діагональ грані, що містить катет, прилеглий до цього кута, нахилена до площини основи призми під кутом β. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб зі стороною а і гострим кутом а. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом β. Обчисліть об'єм призми.
371. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b. Дві рівні бічні
грані утворюють між собою кут β. Через діагоналі цих граней проведено площину, що утворює з площиною основи кут а. Знайдіть об'єм цієї призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник. Дві діагоналі суміжних бічних граней, що мають спільну вершину, дорівнюють l і утворюють між собою кут а. Площина, що проходить через ці діагоналі, нахилена до площини основи під кутом β. Знайдіть об'єм призми.