2. Завдання підвищеного рівня (№№ 288 — 327)

288. а) Дано паралелепіпед АВСОА₁В₁С₁D₁. Вкажіть вектор, що дорівнює сумі

ВА + АС + А₁D₁ + СВ + DA + DС.

б) Дано паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁. Вкажіть вектор, що дорівнює сумі

CB+BD+DD₁+A₁B₁+DA₁+B₁B.

289. а) Точки М і N — середини паралельних сторін АВ і СD трапеції АВСD. Точка О не належить

площині АВС. Виразіть вектор OM — ON через вектори АD і ВС.

б) Точка М --середина сторони АВ паралелограма АВСD. Виразіть вектор SС-SD через вектор ВМ, де S — довільна точка простору.

290. а) Дано тетраедр АВСD, СК = КВ, АD = а, АВ = b, АС = с, K — внутрішня точка ребра СВ.

Виразіть вектор DK через вектори а, b і с.

б) Дано паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁, В₁А₁=а, В₁С₁=b, В₁В = с. Виразіть вектор B₁М через вектори а, b і с, якщо М — точка перетину відрізків АС і ВD).

291 а) Обчисліть кут між векторами а = т-2п- р та b = т-2п + р, де m, n, р — одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

б.) Обчисліть кут між векторами с та р = 12а + 4b - 3с, де а, b, с — одиничні взаємно перпен­дикулярні вектори.

_ _

292. а) Дано: а﬩b, а﬩с, (b,с) = 60°, |а| =|b| = |с| = 1. Обчисліть скалярний добуток (а + b) • (а + 3с).

б.)Дано: (а,b) = (а,с) = (b,с) = 60°. Обчисліть скалярний добуток (а + 2b)*(с-а), якщо |a| = |b| = |с| = 1.

293, а) Обчисліть довжину вектора 2а + 3b, якщо а (1; 1; -1), b(2; 0; 0).

б) Обчисліть довжину вектора 2а + 3b, якщо а(3; 1; 0), b(0; 1; -1).

294 А) Дано куб авсdа1в1с1d1. Обчисліть кут між векторами вс1 і вк, де к— середина ребра dd1.

б) Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Обчисліть кут між векторами ВD₁ і МА₁, де M — середина ребра AD.

295 А) Мі n — середини ребер в1в і а1d1 куба авсdа1в1с1d1, ребро якого дорівнює 2а. Знайдіть

довжину MN.

б) Відрізки АВ, АС і АD взаємно перпендикулярні. М — середина СD Знайдіть довжину ВМ, якщо АВ = b, АС = с, АD = а.

296. a) Дано: |a|=13;|b|=19;|a+b|=24.Обчисліть |a-b|.

б) Дано: |a|=11;|b|=23;|a-b|=30. Обчисліть |a+b|.

297. а) Вектори а і 6 перпендикулярні, причому |а| = 5, |b|= 12. Обчисліть |а + b|. б) Вектори а і b перпендикулярні, причому |а| = 9, |b| = 12. Обчисліть |а - b|.

298. а) При яких значеннях m і п вектори а (-1; 4; -2) і b(-3; m; п ) колінеарні? б) Вектори а(п ; -2; 1) і b( n; 1; -n) перпендикулярні. Знайдіть п.

299. а) Чи перпендикулярний вектор АВ, де A(-1; 5; -2),В(0; 3; 4) і площина2х - 4у + 12z - 1 = 0?

Чому?

б) Чи паралельний вектор АВ, де A(2; 0; -3) і В(4; -3; 2), площині х + 4у + 2z - 1 = 0? Чому?

300. а) Перевірте колінеарність векторів а(3; -1; 2) і b(-9; 3; -6). Встановіть:

а) який із них довший і в скільки разів,

б) як вони напрямлені — однаково чи протилежно? _

б) Дано точки A(5; -4; 2), В(5; -7; 8), С(2; 2; -7), D(-1; 5; -10). Покажіть, що вектори DВ і СА

колінеарні; встановіть, як вони напрямлені — однаково чи протилежно.

301. а) Знайдіть координати кінців відрізка, який точками С(2; 0; 2) і D(5; -2; 0) поділено на три рівні

частини.

б) Знайдіть координати кінців відрізка, який точками С(3; 4; 3) і D(2; 5; 4) поділено на три рівні частини.

302. а) Точки A(3; 1; 8), В(4; 7; 1), С(3; 5; —8) — вершини паралелограма АВСD Знайдіть координати

вершини D.

б) Точки A(4; 2; -1), С(-4; 2; 1), D(7; -3; 4) — вершини паралелограма АВСD. Знайдіть коор­динати вершини В.

303. а) Кінці відрізка А(5; -2; 1) і В(5; 3; 6). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно

площини xz.

б) Кінці відрізка А(7; -3; 4) і В(6; 7; 8). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно площини ху.

304. а) Точка М(2; 6; 3) — середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі Ох і в площині yz.

Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.

б) Точка М(2; 8; 5) середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі Оz і в площині ху. Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.

305. а) У АВС, де A(3; 0; -4) і М(5; 4; -3) — середина АВ, Р — середина АС. Знайдіть довжину

вектора РИ, це N — середина ВС.

б) У трикутнику АВС, точка N (1; 3; 4) — середина ВС_; Р(2; 7; -1) — середина АС. Знайдіть координати вектора АВ.

306. а) При паралельному перенесенні точка А(2; 1; —1) переходить у точку А₁(1; -1; 0). В яку точку

переходить точка М, що симетрична точці А відносно початку координат?

б) При паралельному перенесенні точка А(2; 1; -1) переходить у точку А₁(1; -1; 0). В яку точку переходить точка М, що симетрична точці А відносно площини хОу?

307. а) При якому значенні п площина х - 7 у - 3z + 8 = 0 паралельна вектору v(— 1; 2; n)?

6) При яких значеннях а і 6 площина ах + by – 2z + 7 = 0 перпендикулярна до вектора v(3; -4; 1)?

308. а) Дано точки A(1; 4; 8) і В(-4; 0; 3). Під яким кутом відрізок АВ видно із початку координат? б) Дано точки А(2; -4; 6) і В(4; 4; 2). Під яким кутом видно відрізок MB із початку координат,

якщо М — середина відрізка АВ?

309. а) Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах а (8; 4; 1) і b(2; -2; 1).

б.) Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах AВ(3; 0; -4) і AС(0; 5; 0).

310. а) Обчисліть площу трикутника ABC, якщо А(9; 0; 2); В(6; 0; -2); С(0; 3; 0).

б) Обчисліть площу паралелограма ABCD, якщо координати трьох його вершин: А(9; 0; 2), В(6; 0; -2), С(0; 3; 0).

311. а) Доведіть, що точки А(2; 4;-4), В(1; 1;-3), С(-2; 0; 5), D(-l; 3; 4) є вершинами паралелограма

ABCD.

б) Доведіть, що точки А(-4; -8; 8), В(-2; -2; 6), С(4; 0; -10), D(2; -6; -8) є вершинами паралелограма ABCD.

312. Доведіть, що чотирикутник ABCD є ромбом, коли:

а) А(6; 7; 8), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D(2; 8; 4);

б) A(0; 2; 0) В(1; 0; 0), С(2; 0; 2), D(1; 2; 2).

313. а.) Знайдіть довжину діагоналі BD паралелограма AВСD якщо А(1; -3; 0), В(-2; 4; 1), С(-3;1;1). б) Знайдіть довжину діагоналі АС, паралелограма ABCD, якщо А(2; ^_6; 0),В(-4; 8; 2),D(0; -12; 0).

314. а) Знайдіть довжину медіани ВВ₁ трикутника з вершинами А(4;0; -8), В(2; 0; 3), С(16; 2; 8). б) Дано вершини трикутника ABC: А(—2; 0; 1), В(8; -4; 9), С(—1; 2; 3). Знайдіть довжину

медіани, проведеної з вершини С.

315. а) На осі аплікат знайдіть точку А, рівновіддалену від точок М(—2; 3; 5) і N(3; —5; 1). б) На осі абсцис знайдіть точку, рівновіддалену від точок А( 1; 2; 2) і В(-2; 1; 4).

316. а) Точки А(3; -6; 2) і A₁ симетричні відносно координатної площини yOz. Знайдіть відстань АА₁. б) Точка В₁ симетрична точці В(3; —4; 7) відносно координатної площини хОz. Знайдіть відстань

ВВ₁.

317. а) На які частини площина хОу ділить відрізок з кінцями А(1; 2; 6) і В(7; 11; —12)? б) На які частини площина хОz ділить відрізок з кінцями А(4; -12; 5) і В( 13; 8; -7)?

318. а) Доведіть, що трикутник з вершинами А(7; 1; -5), В(4; -3; -4), С(1; 3; —2) — рівнобедрений. б) Доведіть, що трикутник з вершинами А(3; -2; 1), В(-2; 1; 3), С(1; 3; -2) — рівносторонній.

319. a) Доведіть, що трикутник з вершинами А(1; 0; 1), В(1; 1; 0) і С(1; 1; 1) — Прямокутний.

Знайдіть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.

б) Доведіть, що трикутник з вершинами А(2; 0; 5), В(3; 4; 0) і С(2; 4; 0) прямокутний. Знайдіть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.

320. а) Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВВ₁ трикутника ABC, якщо А(3; 5; 0), В(0; -6; 0)

і С(3; 1; 0).

б) Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВМ трикутника ABC, якщо А(-3; -5; 1), В(-4; -1; -2) і С(3; 3; 1).

321. Дано трикутник ABC. Знайдіть:

а) зовнішній кут при вершині В, якщо В(2; -1; -1), А(2; 2; -4) і С(3; -1; -2);

б) зовнішній кут при вершині А, якщо A(2; —2; —3), В(4; -2; -1) і С(2; 2; 1).

322. Дано три точки A(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0):

а) обчисліть косинус кута С трикутника ABC;

б) обчисліть косинус кута А трикутника ABC.

323. Складіть рівняння сфери, яка:

а) проходить через початок координат, а центр її знаходиться у точці O(4; —4; 2);

б) проходить через точку A(2; -1; —3), а центр її знаходиться у точці С(3; -2; 1).

324. а) Дано чотири точки A(0; 1; 1), В(1; 1; 2), С(2; -2; 2) і D(2; -3; 1). Знайдіть кут між векторами

АВ і CD.

б) Дано точки A(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0), D(2; 1; 1). Знайдіть кут між векторами ВС і АD.

325 Нехай О — центр правильного шестикутника АВСDЕF. Доведіть: а)АВ-ВС=ОВ; б) АВ-DC = АО.

326. а) У тетраедрі АВСD точка М — середина ребра ВС. Виразіть через вектори b = АВ, с = АС,

а = АD вектор DМ.

б) У тетраедрі АВСD точка К — середина ребра DС. Виразіть через вектори b = АВ, с = АС, а = АD, вектор ВК.

327. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁. Доведіть:

a) |CA+CC₁|=|CA-CC₁|; б) |A₁B₁-DB₁|=CB+CC₁|