Розділ II. Координати і вектори в просторі
1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 266 — 287)
266. а) Знайдіть відстань від точки А(1; 2; 3) до початку координат.
А) √12 ; Б) √13; В) √14; Г) інша відповідь.
б) Знайдіть відстань між точками А(-1; 1; -1) і В(-1; 0; -2).
А) √2; Б) 2; В) 2√2; Г) інша відповідь.
267. а) На осі Ох знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(1; 2; 2) і В(-2; 1, 4).
А) (-1; 0; 0); Б) (-2; 0; 0); В) (2; 0; 0); Г) інша відповідь.
б) На осі Оу знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(-2; 1; 4) і В(1; 2; 2).
А) (0; 6; 0); Б) (0; -6; 0); В) (0; 4; 0); Г) інша відповідь.
268. а) У трикутнику АВС А( 2; 1; 3), В(2; 1; 5), С(0; 1; 1). Знайдіть довжину медіани АМ.
А) 1; Б) 2; В) 2,5, Г) 0,5; Д) інша відповідь.
б) У трикутнику АВС А(2; 1; 3), В( 2; 1; 5), С(0; 1; 1). Знайдіть довжину медіани СМ.
А) √12; Б) 2√2; В) √13; Г) √10: Д) інша відповідь.
269. а) На осі абсцис знайдіть точку М, відстань від якої до точки А(3; -3; 0) дорівнює 5.
А) (-1; 0; 0); Б) (-1; 7; 0); В) (7; 0; 0); Г) (7; 0; 0) і (-1; 0; 0); Д) інша відповідь.
б) На осі ординат знайдіть точку М, відстань від якої до точки А(4; 3; 0) дорівнює 5.
А) (0; 0: 0); Б) (0; -6: 0): В) (0: 6: 0) та (0: 0; 0); Г) (6; 0: 0); Д) інша відповідь.
270. а) Вектор, довжина якого дорівнює 3, має однакові координати. Знайдіть координати вектора.
(1; 1; 1) або (-1; -1; -1); Б) (√3; √3; √3) або (-√3, -√3, -√3),
(3√3; 3√3; 3√3) або (-3√3; -3√3; -3√3); Г) інша відповідь.
б) Вектор, довжина якого дорівнює 3√3, має рівні координати. Знайдіть координати вектора.
А) (-3; -3; -3) або (3; 3; 3); Б) (-3√3; -3√3; -3√3) або (3√3; 3√3; 3√3); В) інша відповідь.
271. а) Знайдіть довжину вектора АВ, якщо А(-1; 1; -1) і В(-1; 1; -1).
А) √2; Б) 2; В) 2√2; Г) інша відповідь.
б) Знайдіть довжину вектора ОА, де О — початок координат і А(1; 2; 2). А) 2; Б) 3; В) 4; Г) інша відповідь.
272. а) Яка з точок M є серединою відрізка АВ, якщо А(1; -1; -1); В(-1; 1;1)?
А) М(2; -2; 0); Б) М(1; -1; 0); В) М(-1; 1; 1); Г) інша відповідь.
б) Знайдіть координати вектора ВА, якщо А (0; 1; -1) і В(1; -1; 0).
А) (1; 0; -1); Б) (-1; 2; -1); В) (1; -2; 1); Г) інша відповідь.
273. а) Від точка А відкладено вектор АВ = а. Знайдіть координати точки В. якщо А(-1; 5; 0),
а (1; -3; 0).
А) (2: 2: 0); Б) (0; 8; 0); В) (0; 2; 0).
б) Від точки А відкладено вектор АВ = а. Знайдіть координати точки В, якщо А(-2; 7; 0), а (-2; -5; 0).
А) (-4; -12; 0); Б) (0; 2; 0); В) (0; -2; 0).
274. А) Дано вектори а (4; -2; -4) та b(6; -3; 2). Обчисліть (a-b)2
А) 41; Б) 33; В) інша відповідь.
б) Дано вектори а (4; -2; -4) та b(6; -3; 2). Обчисліть | 2a – b|.
А) √41; Б) √89; В) √105.
275. а) Дано вектори а(-2; 2; -3) та b(3; 1; 2). Знайдіть S = 2a + 3b.
А) S(5; 5; 0); Б) S(5; 7; 0); В) S(4; 5; -1); Г) інша відповідь.
б) Дано вектори а (4; -4; 2) та b(3; 2; 2). Знайдіть S = 0,5а + 2b.
А) S(8; 2; -5); Б) S(8; -2; 5); В) S(8; 2; 5); Г) інша відповідь.
276. а) Знайдіть довжину вектора S = -2а, якщо а (1; 2; 2).
А) 4; Б) 6; В) 8; Г) інша відповідь.
б) Знайдіть довжину вектора S = -3b, якщо b(2; 2; -1).
А) 6; Б) 9; В) 12; Г) інша відповідь.
277. а) Дано точки А(1; 0; 2),В(3; n; 5), С(2; 2; 0),D(5; 4; т). При яких значеннях т i n вектори АВ
і CD — колінеарні?
А)
п
=
;
т =
;
Б) п
=
;
т =
;
В) п
= 0,2;
т
=
0,5; Г) інша відповідь.
б) Дано вектор а (1; 2; 3). Знайдіть на площині ху колінеарний до нього вектор з початком у точці А(-1; -1; -1) і кінцем у точці В.
А)
АВ( -
;
;0)
Б) АВ( ; ;1)
В) AB( ; ;0)
Г) інша відповідь.
278. а) Чи колінеарні вектори а(2; 3; 8) та b(-4; 6; -16)?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
б) Чи колінеарні вектори т(8; 3; -2) і n(16; 6; -4)? А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
279. Знайдіть значення т і п, при яких дані вектори колінеарні: а) а(15; т; 1) і 6(18; 12; п).
А)
т=
10
і п
=
;
Б) т
=
10 і п
=
1,2; В) т
=
14,5 і п
=
1,2.
б)
с(m;
0,4; -1) і d
;n;
А) т = 0,1 і п = -2; Б) m = 0,1 і n = -0,08; В) m = 2,5 і п = -2.
280. Чи лежать точки А, В і С на одній прямій:
а) А(3; -7 ;8), В(-5; 4; 1), С(27; -40; 29)? А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
б) А(-5; 7; 12), В(4; -8; 3), С(13; -23; -6)? А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
281. а) Чи перпендикулярні вектори а(2; 3; 6) і b(3; 2; -1)?
А) так; Б} ні;В) визначити неможливо.
б) Чи перпендикулярні вектори m(1; 1; -2) і n(2; 2; 2)?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
282. а) При якому значенні г вектори а (6; 0; 12) і b (-8; 13;z) перпендикулярні?
А) -4; Б) 4; В) 5.
б) При якому значенні х вектори а (6; 0; 12) і b(x; 13; 4) перпендикулярні?
А) 8; Б) 106; В) -8.
283. а) У трикутнику АВС А(2; 1; 3), В(1; 1; 4,), С(0; 1; 3). Чи перпендикулярні вектори АВ і СМ,
де М — середина відрізка АВ?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
б) У_трикутнику АВС А(4; 2; 10), В(10; -2; 8), С(-2; 0; 6). Чи перпендикулярні вектори АМ і ВС, де М — середина відрізка ВС?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
284. а) Дано вектори а(2; -1; 4) і b(5; 3; х). При якому значенні х а*b = 19?
А)
3; Б) 0; В)
.
б) Дано вектори а(0; y; 5) і b(-3; -2; 1). При якому значенні у а*b = -3?
А) 5; Б) 4; В) 0.
285. а) Дано вектори а(3; —1; 2) і b(— 1; —5; 7). Знайдіть а*b.
А) 6; Б) 16; В) 22.
б) Дано вектор а(5; 6; 3). Знайдіть а*а.
А) -2: Б) 70: В) інша відповідь.
286. а) Дано вектори а(3; -1; 5) і b(-2; -3; 0). З'ясуйте, який кут між векторами а і b.
А) гострий; Б) тупий; В) прямий; Г) визначити неможливо.
б) Дано вектори а(4; -3; 7) і с(-1; -3; 2). З'ясуйте, який кут між векторами а і с.
А) гострий; Б) тупий; В) прямий; Г) визначити неможливо.
287. Дано точки А(8; -2; 5), В(2; 3; 7), С(-3; 9; 4), 0(3; 4; 2). Чи рівні вектори.
а) АВ і СD ?
А) визначити неможливо; Б) так; В) ні; Г) інша відповідь.
б)АВ і DС ?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо; Г) інша відповідь.