2. Завдання підвищеного рівня (№№ 214 — 251)

214. а) У прямокутному паралелепіпеді АВСDА₁В₁С₁D₁ основа — квадрат. Точки Р і М — середини сторін AB і AD відповідно. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через ці точки, перпендикулярно до площини ABC.

б) У прямокутному паралелепіпеді АВСDА₁В₁С₁D₁ з основою АВСD точки К і N — середини ребер D1С1 і D1D відповідно. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через ці точки, перпендикулярно до площини DD1С1.

215. а) Побудуйте переріз правильної зрізаної чотирикутної піраміди площиною, що проходить через

ребро основи і середину її висоти. Визначте вид перерізу.

б) Побудуйте переріз правильної зрізаної чотирикутної піраміди АВСDА₁В₁С₁D₁ площиною, що проходить через ребро ВС і середину ребра DD1. Визначте вид перерізу.

216. а) Побудуйте переріз куба площиною, заданою прямою а і точкою М, яка належить одному з

бічних ребер, при умові, що пряма a лежить у площині нижньої основи, але її не перетинає, крім цього, ця пряма не паралельна жодному з ребер основи, якщо точка М ділить ребро у співвідношенні 1 : 3, рахуючи від основи.

б) Побудуйте переріз куба площиною, заданою точкою, що належить верхній основі куба і прямій, що лежить у площині нижньої основи куба і не перетинає його.

217. а) Побудуйте переріз призми АВСDА₁В_іС₁D₁ площиною, що проходить через точки М, N і Р, де М

належить грані АА₁С₁С, а N — грані АА₁В₁В, Р — ребру СВ. МN не паралельна площині АВС.

б) Побудуйте переріз піраміди DАВС площиною, що проходить через точки М, N, Р, де М і N належать граням D А С і АDB відповідно, точка Р належить ребру СВ. причому МN не паралельна площині АВС.

218. а) У тетраедрі DАВС точка М належить ребру ВD. Побудуйте переріз тетраедра площиною, що

проходить через точку М і паралельна ребрам АD і ВС. Визначте вид перерізу.

б) У тетраедрі DАВС точка E належить ребру АС. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точку Е і паралельна ребрам АD і ВС. Визначте вид перерізу.

219. а) На зображенні прямокутного паралелепіпеда АВСDA1 В1 С1 D₁ вкажіть спільний перпендикуляр

прямих А1D1 і ВВ1.

б) На зображенні прямокутного паралелепіпеда АВСDА₁В₁С₁D₁ вкажіть спільний перпендикуляр прямих DС і В1C1.

220. а) Побудувати спільний перпендикуляр бічного ребра куба і діагоналі основи, які мимобіжні між

собою.

б) Побудувати спільний перпендикуляр мимобіжних діагоналей, які мимобіжні між собою, двох граней куба, що не перетинаються.

221. а) Дано паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁; М і N — середини ребер DС і А₁В₁. Побудуйте точки

перетину прямих АМ і АN з площиною грані ВВ₁С₁С.

б) Дано паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁; М, N,Р — точки, що належать його ребрам: М є DD_1, N є ВВ₁, Р є СС₁. Побудуйте точки перетину прямих МР і МN з площиною АВСD. (Площина МРN не паралельна площині АВСD).

222. а) Дано паралелепіпед АВСDA₁В₁С₁D₁; М і N — точки, що лежать на середині ребер DС і А₁В_1.

Побудуйте лінію перетину площин АМN і ВВ₁С₁С.

б) Дано паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁; М, N і Р — точки, що належать його ребрам: М є DD₁; N є ВВ₁; Р є СС₁. Побудуйте лінію перетину площин МNР і АВСD. причому площини МNР і АВС не паралельні.

223. а) Побудуйте на зображенні ромба зображення його висоти, якщо кут ромба дорівнює 45°. б) Побудуйте на зображенні ромба зображення його висоти, якщо кут ромба дорівнює 60°.

224. а) Дано точки А₁, В₁ (знаходяться на різних відстанях від площини а) та їх проекції А₂ і В₂ на

площину а. Побудуйте точку перетину прямої А₁В₁ з площиною а.

б) Дано точки А₁, В₁, С₁, що не лежать на одній прямій, і їх проекції А₂,В₂, С₂, на площину а. Побудуйте лінію перетину площини А₁В₁С₁ з площиною a.

225. а) Побудуйте довільний паралелограм А₁В₁С₁D₁, і, взявши його за паралельну проекцію квадрата

АВСD, побудуйте проекцію прямої, що проходить через точку М, розташовану на стороні АВ так, що З*АМ = МВ, і утворює кут 45° зі стороною АВ.

б) Позначте три довільні точки А₁, В₁, С₁, що не лежать на одній прямій і, визначивши ці точки як паралельні проекції вершин А, В, С правильного шестикутника АВСDEF, побудуйте проекцію цього шестикутника.

226. а) Дано паралельні прямі а і b і точку А, що не належить цим прямим. Через точку А проведіть

площину, паралельну кожній з даних прямих.

б) Дано мимобіжні прямі а та b і точку А, що не належить жодній з них. Через точку А провести площину, паралельну прямим а і b.

227. а) В основі паралелепіпеда лежить квадрат. Бічне ребро АА₁ утворює рівні кути зі сторонами АВ

і АD основи. Побудуйте лінійні кути двогранних кутів при сторонах основи АВ і АD.

б) В основі паралелепіпеда лежить ромб АВСD з гострим кутом при вершині А. Бічне ребро АА₁ утворює рівні кути зі сторонами АВ і АD основи. Побудуйте ортогональну проекцію ребра АА₁ на площину основи.

228. а) Точки М і N належать бічним граням трикутної піраміди SАВС. Побудуйте точку перетину

прямої МN з площиною АВС при умові, що MN не паралельна площині АВС.

б) Точки М і N належать граням SАВ та SАС трикутної піраміди SАВС. Побудуйте точку перетину прямої MN з площиною SВС.

229. а) На зображенні прямої чотирикутної призми АВСDА₁В₁С₁D₁ позначено точку К, що належить

грані АА₁В₁В. Точка Z належить грані ВВ₁C₁C . Побудуйте точку перетину прямої KZ з площиною нижньої основи.

б) На зображенні прямої чотирикутної призми АВСDА₁В₁С₁D₁ позначено точку К, що належить грані АА₁В₁В і Z і грані ВВ₁С₁С. Побудуйте точку перетину прямої KZ з площиною грані DD ₁с₁с.

230. а) Дано прямий паралелепіпед. Побудуйте кут нахилу його більшої діагоналі до площин бічних

граней.

б) Побудуйте кути нахилу діагоналі прямокутного паралелепіпеда до його граней.

231. а) Точки А і В належать внутрішнім областям бічних суміжних граней чотирикутної призми.

Побудуйте точку перетину прямої АВ з площиною нижньої основи.

б) Точки М і N належать внутрішнім областям суміжних бічних граней трикутної призми. Побудуйте точку перетину прямої MN з площиною нижньої основи.

232. а) Точки А і В знаходяться на двох несуміжних ребрах чотирикутної призми. Побудуйте точку

перетину прямої АВ з площиною, що проходить через два інших бічних ребра.

б) Точки М і N знаходяться на двох несуміжних ребрах чотирикутної піраміди. Побудуйте точку перетину прямої MN з площиною, проведеною через два інших ребра.

233. а) Дано твірні циліндра АА₁, ВВ₁, СС₁ DD_1. Побудуйте точку перетину прямої DD₁ і площини,

що проходить через дані точки М, N, Р, які належать відповідно твірним АА₁ ВВ₁, СС₁.

б) Дано твірні конуса ОА, ОВ, ОС, OD. Побудуйте точку перетину прямої ОD і площини, що проходить через дані точки М, Т, К, які належать відповідно твірним ОА, ОВ. ОС, причому площина МТК не паралельна а.

234. а) Пряма а перетинає бічну поверхню циліндра. Точки Q і Я належать прямій а, а Q₁ і R₁ — їх

ортогональні проекції на площину основи циліндра. Побудуйте точку перетину прямої а з бічною поверхнею циліндра.

б) Пряма а перетинає бічну поверхню конуса. Точки Q і Я належать прямій а, а Q₁ і R₁ — їх центральні проекції з центром S на площину основи конуса. Побудуйте точки перетину прямої а з бічною поверхнею конуса.

235. а) Дано зображення ромба, в якого одна з діагоналей дорівнює стороні. Побудуйте зображення

висот ромба, що проходять через його центр.

б) У правильній трикутній піраміді SАВС плоский кут при вершині — гострий. Побудуйте кут між стороною АС основи і площиною бічної грані SВС.

236. а) У паралелепіпеді АВСDА₁В₁С₁D₁ точка М — середина ребра В₁С₁. Побудуйте переріз цього

паралелепіпеда площиною, що проходить через точку М і ребро DС.

б) У паралелепіпеді АВСDА_ІВ₁С_]D₁ точка М — середина ребра В₁С₁ . Побудуйте переріз цього паралелепіпеда площиною, що проходить через точку М і ребро АА₁.

237. а) Через середину М ребра АВ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ провести переріз цього куба площиною,

перпендикулярною до прямої АС. Визначте вид многокутника, який утворився в перерізі.

б) Довжини ребер тетраедра АВСS рівні. Побудуйте переріз цього тетраедра площиною, що проходить через середину ребра АВ і перпендикулярна до цього ребра. Визначте вид многокутника, який утворився в перерізі.

238. а) Побудуйте переріз правильної трикутної піраміди площиною, що проходить через центр основи

піраміди паралельно бічній грані піраміди.

б) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SАВСD площиною, що проходить через медіану АК бічної грані АSВ і перпендикулярна до площини основи.

239. а) Побудуйте переріз правильної шестикутної піраміди площиною, що проходить через середину

бічного ребра паралельно стороні основи і перпендикулярно до площини основи піраміди.

б) Побудуйте переріз правильної шестикутної призми площиною, що проходить через більшу діагональ основи під кутом а до площини основи.

240. а) Побудуйте переріз тетраедра АВСD площиною, що проходить через точку перетину медіан

грані ВСD паралельно грані АСD.

б) О — точка перерізу медіан грані ВСD тетраедра АВСD. Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить через середину ребра АС і паралельна площині ADO.

241. а) Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить через середини ребер АD і СD і

внутрішню точку Р ребра ВС.

б) Побудуйте переріз тетраедра DАВС площиною, що проходить через точки М і N ребер СD і СВ відповідно, паралельно АС.

242. а) Дано пряму чотирикутну призму, основа якої — паралелограм з гострим кутом А, що дорівнює

60°. У даній призмі точки Е, F, Н відповідно середини ребер АD, DС, DD₁. Побудуйте переріз призми площиною, що проходить через дані точки. Чи є в умові задачі зайві дані?

б) У кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ точки 0,Т, К— відповідно середини ребер В₁С₁, ВС, АВ. Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через дані точки, якщо довжина діагоналей основи куба 4√2 см. Чи є зайві дані в задачі?

243. а) Побудуйте і визначте вид перерізу правильної трикутної зрізаної піраміди площиною, що

проходить через апофему бічної грані, що сполучає середини верхньої і нижньої основ, і середину сторони верхньої основи, які мимобіжні між собою.

б) Побудуйте і визначте вид перерізу правильної трикутної зрізаної піраміди площиною, яка проходить через сторону нижньої основи і середину сторони верхньої основи, які мимобіжні між собою.

244. а) Ребро куба дорівнює а. Визначте площу перерізу, що проходить через діагоналі двох суміжних

його граней.

б) Ребро куба дорівнює а. Визначте площу перерізу, що проходить через діагоналі паралельних граней.

245. а) У тетраедрі DАВС проведіть переріз через медіану СМ грані САВ паралельно ребру АD.

Знайдіть площу перерізу, якщо кожне ребро, тетраедра дорівнює а.

б) Побудуйте переріз правильного тетраедра DАВС площиною, що проходить через точку М ребра АВ паралельно грані DАС. Знайдіть площу перерізу, якщо АМ : МВ = 1 : 3 і АВ = а.

246. а) На зображенні прямокутного паралелепіпеда АВСDА₁В₁С₁D₁ побудувати його переріз

площиною, що проходить через середини ребер АВ, АА₁ і СD. Визначте вид перерізу.

б) Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через середини ребер АВ, ВС і DD₁. Визначте вид перерізу.

247. а) Побудувати переріз куба АВСDА₁В₁С₁D₁ площиною, що проходить через вершини А і С і

середину ребра А₁В₁ точку М. Визначити вид перерізу.

б) Побудувати переріз правильного тетраедра DАВС площиною, що проходить через середини ребер АD і АВ — точки М і N. паралельно ребру ВС. Визначити вид перерізу.

248. а) Основою піраміди SАВСD є ромб з кутом А, що дорівнює 120°. Висотою піраміди є ребро SА.

Побудуйте зображення лінійних кутів двогранних кутів при сторонах основи.

б) Висотою піраміди РАВСD є ребро РС, а основою — рівнобічна трапеція АВСD. Побудуйте зображення лінійного кута при ребрі АD, якщо АD | | ВС.

249. а) У піраміді одна з граней перпендикулярна до площини основи. Побудуйте зображення лінійних

кутів при сторонах основи, якщо основою піраміди є квадрат.

б) У піраміді одна з граней перпендикулярна до площини основи. Побудуйте зображення лінійних кутів при сторонах основи, якщо в основі піраміди лежить правильний трикутник.

250. а) У правильній чотирикутній піраміді побудуйте переріз площиною, що проходить через середини

суміжних бічних ребер, перпендикулярно до площини основи.

б) У правильній трикутній піраміді побудуйте переріз площиною, що проходить через середини бічних ребер, перпендикулярно до площини основи.

251. Побудуйте переріз призми площиною, що проходить через точки, вказані на рисунку.