189. А) Побудуйте лінію перетину площин abb1 і b1c1c в кубі abcda1b1c1d1.

б) Побудуйте лінію перетину площин AMD і CDB трикутної піраміди DABC.

190. A) Дано прямокутний паралелепіпед. Як розміщена пряма ab відносно грані dcc1d1?

б) Дано трикутну піраміду ABCD. Як розміщені прямі AD і BC ?

191. а)

б)

А) Точки А, С, М, Р лежать у площині а, а точка В є а. Причому точки Р і М лежать у різних півплощинах відносно прямої АС. Побудуйте точку перетину прямої МР з площиною АВС.

Б) Точки А, С, Е, F лежать у площині a, a точка В є а. Побудуйте точку перетину прямої EF з площиною АВС, якщо прямі EF і АС не паралельні.

192. а)Промені МК і МР перетинають площину а, яка паралельна площині β, у точках А і В відповідно, причому промінь МК перетинає площину β у точці A₁. Побудуй­те точку В₁ перетину площини β і променя МР.

б) Площини а і β паралельні. Відрізок АВ розміщений у площині а. Через його кінці і точку К, що лежить між площинами, проведено прямі. Пряма ВК перетинає площину β у точці В₁. Побудуйте точку А₁, перетину прямої АК і площини β.

193. а) У просторі точка М не належить прямій а. Проведіть через точку М пряму, паралельну до

даної прямої.

б) У просторі точка N не належить прямій l . Через цю точку проведіть пряму, що перпендикулярна до даної.

194. а) Через дану точку М, що не належить площині а, проведіть пряму, паралельну а. б) Через дану точку М, що не належить прямій а, проведіть площину, паралельну а.

195. а) Побудуйте лінійний кут двогранного кута при одній із сторін основи правильної чотирикутної

піраміди.

б) Побудуйте лінійний кут двогранного кута при одному із бічних ребер правильної чотирикутної піраміди.

196. а) Дано тетраедр A BCD і точки M і N, що належать відповідно ребрам DC і АВ. Побудуйте лінію

перетину площин АВМ і DCN.

б) Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Побудуйте лінію перетину площин АA₁С₁ і BB₁D₁

197. а) Дано рівносторонній трикутник ABC і точку М, що не належить його площині. Через точку M

і точку А проведіть площину а, так, щоб лінія перетину площин ABC і а ділила відрізок ВС навпіл.

б) Дано правильний трикутник ABC і точку М, що не належить його площині. Через точки М і А проведіть площину а, так, щоб лінія перетину площин ABC і а ділила кут ВАС навпіл.

198. а) В основі трикутної піраміди лежить прямокутний трикутник. Грань, що містить гіпотенузу,

перпендикулярна до площини основи. Побудуйте кути нахилу граней, які містять катети, до площини основи.

б) В основі піраміди правильний трикутник, одне із бічних ребер перпендикулярне до площини основи. Побудуйте кут нахилу грані, що не містить перпендикулярне ребро, до площини основи.

199. а) Побудуйте у рівнобедреній трапеції зображення висот, проведених із вершин тупих кутів. б) Трикутник A₁B₁C₁ є паралельною проекцією рівностороннього трикутника ABC на площину

а. Побудуйте проекції на площину а прямих, перпендикулярних до сторін трикутника ABC, і проведених через точку М, взяту на стороні трикутника ABC.

200. а) Еліпс з центром О₁ є паралельною проекцією кола з центром О на площину. Побудуйте

зображення квадрата, вписаного в коло.

б) Еліпс з центром О₁ є паралельною проекцією кола з центром О на площину. Побудуйте зображення квадрата, описаного навколо кола.

201. а) Еліпс, центр якого на рисунку не вказано, є проекцією кола. Як на малюнку проекції знайти

положення центра кола, що проектується?

б) На площині дано зображення кола і його центра О, пряма а, що не перетинає кола і точка М, що не належить прямій а і колу. Побудуйте зображення перпендикуляра, опущеного із точки М на пряму а.

202. а) Дано квадрат ABCD. Із вершини A проведено перпендикуляр АА₁ до його площини. Побудуйте

кут між АВ і A₁O, де О — точка перетину діагоналей квадрата.

б) Катет АС трикутника ABC (ﮮC = 90° ) лежить у площині а, точка В не належить площині а. Трикутник AВ₁С — ортогональна проекція даного трикутника на площину а. Побудуйте кут між прямими АВ₁ і ВС при умові, що другий катет не перпендикулярний до площини а.

203. а) Сторони АВ і АС трикутника ABC паралельні площині а і точка М не належить площині а.

Побудуйте проекцію точки М на площину а, якщо:

1. вона належить одній із сторін трикутника ABC;

2. вона належить одній із медіан трикутника.

б) Дано точки А і В, що не лежать у площині а і знаходяться на різній відстані від неї. Побудуйте:

1. точку перетину прямої АВ і площини а;

2. ортогональну проекцію точки М (М є АВ ) на площину а.

204. а) Дано три промені, що мають спільний початок і не лежать в одній площині. Скільки різних

площин можна провести так, щоб у кожній площині лежало по два із даних променів?

б) Дано чотири промені, які мають спільний початок, причому жодні три із них не лежать в одній площині. Скільки різних площин можна провести так, щоб у кожній площині лежало по два із даних променів?

205. а) Точка В відрізка АВ лежить у площині а. Через точку А проведено пряму, що перетинає

площину а в точці А₁. Через середину відрізка АВ (точку С ) проведено пряму с, паралельно до АА₁. Побудуйте точку перетину прямої с і площини а.

б) Точка В відрізка АВ лежить у площині а. Через точку А проведено пряму, що перетинає площину а у точці А₁. Через точку С, що ділить відрізок АВ у відношенні 1 : 3 від вершини А, проведено пряму с паралельно АА₁. Побудуйте точку перетину прямої С₁ і площини а.

206. а)

Вкажіть спільний перпендикуляр між двома мимобіжними прямими, що містять ребра куба АА₁ і В₁С:

а) А₁С₁; б) АВ₁; в) АС₁; г) А₁В₁.

б) Вкажіть найкоротшу відстань між діагоналями АD₁ і В₁С протилежних граней куба:

а) D₁B₁; б) АС; в) А₁В₁; г) A₁С.

207. а) Дано паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁. Точка М належить ребру АА₁, точка N належить ребру

DD_1. Побудуйте точку перетину прямої МN з площиною AВС, якщо АМ : МA₁ = 5:1, DN : ND₁ = 2:3.

б) Дано тетраедр АВСО. Точка М належить ребру АD, а точка N ребру ВD. Побудуйте точку перетину прямої МN з площиною AВС, якщо АМ : МD = 4:3, ВN : NО =3:1.

208. а) Дано квадрат АВСD, точка К лежить на стороні СD. Точка Z не належить площині квадрата.

Пряма КZ перпендикулярна до площини AВС. Проведіть перпендикуляри із точки Z до всіх сторін квадрата і до його діагоналей.

б) Дано ромб з гострим кутом A, що дорівнює 60°. Точка Р не належить площині ромба АВСD. Пряма РD перпендикулярна до площини AВС. Проведіть перпендикуляри із точки Р до сторін ромба.

209. а) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SАВСD площиною, що проходить через

SВ і розбиває піраміду на дві фігури з рівними об'ємами.

б) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SАВСD площиною, що проходить через AВ і точку М ребра SС, МС : МS = 2 : 1.

210. а) Побудуйте переріз тетраедра АВСD площиною, що проходить через ребро DС і точку перетину

медіан грані AВС.

б) Побудуйте переріз куба АВСDА₁В₁С₁D₁ площиною, що проходить через ребро АВ і точку перетину діагоналей грані A₁В₁С₁D₁.

211. а) Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через кінці трьох ребер, які виходять

із одної вершини.

б) Дано піраміду SАВСD і точку М на ребрі SА. Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через точку М і паралельна площині AВС, якщо АМ : МS =1:2.

212. а) Побудуйте осьовий переріз циліндра, що проходить, через дану точку кола основи. б) Побудуйте осьовий переріз конуса, що проходить через дану твірну.

213. а) Побудуйте переріз правильної трикутної піраміди МАВС (точка М — вершина піраміди)

площиною, що проходить через середини ребер ВС і СМ і центр основи AВС.

б) На зображенні куба вказати одне із можливих розміщень трьох точок так, щоб при проведенні через них площини в перерізі утворився правильний трикутник.