180. А) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках а1, a2, a3; друга пряма — у

точках В₁, В₂, В₃. Відомо, що A₁A₂ = 4 см, В₂В₃ = 9 см, А₂А₃ = В₁В₂. Знайдіть довжини відрізків A₁A ₃ і В₁В₃.

б) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках В₁, В₂, В₃, друга —у точках С₁, С₂, С₃. Відомо, що В₁В₂ = 4 см. С₂С₃ =16 см, B₂B₃= С₁С₂. Знайдіть довжини відрізків B₁B₃ і C₁C₃.

181. а) У трикутнику ABC АВ = 25 см, АС = 17 см, ВС = 26 см. До площини трикутника через

вершину A проведено похилу, що утворює зі сторонами АВ і АС однакові кути. Проекція цієї похилої перетинає ВС в точці Е. Знайдіть довжину АЕ.

б) У трикутнику MNK МК = 34 см, MN = 50 см, NK = 52 см. Через вершину М до площини трикутника проведено похилу, проекція якої перетинає KN в точці В. Похила утворює зі сторонами MN і МК однакові кути. Знайдіть довжину MB.

182. а) Однакові рівнобедрені трикутники AВС і BCD мають спільну основу ВС, а їх площини утворюють кут 120°. Знайдіть бічні сторони трикутників AВС і BCD, якщо їх основи дорівнюють З см, а відстань між точками A і D — √15 cm.

б) Однакові рівнобедрені трикутники MNK і MKL мають спільну основу МК, а їх площини утворюють кут 60°. Знайдіть бічні сторони трикутників MNK і MKL, якщо їх основи дорівнюють по 3 см, а відстань між точками NіL — √5 см.

183. А) Із центра о квадрата abcd, діагональ якого дорівнює 16√2 см, проведено відрізок of

перпендикулярно до площини квадрата. Площина, проведена через пряму DC і точку F, утворює з площиною квадрата кут 60°. Знайдіть проекцію відрізка OF на площину DFC.

б) Із центра О квадрата ABCD проведено перпендикуляр ОМ до його площини. Площина, проведена через точку М і пряму АВ, утворює з площиною квадрата кут 60°. Проекція відрізка ОМ на площину АВМ дорівнює 6 см. Знайдіть діагональ квадрата.

184. а) У грані двогранного кута проведена пряма, яка утворює з другою його гранню кут 30°, а з

ребром двогранного кута кут 45⁰. Яка величина двогранного кута?

б) В одній із граней двогранного кута, що дорівнює 45°, проведена пряма, яка утворює з другою гранню кут 30°. Знайдіть величину кута, який утворює пряма з ребром двогранного кута.

185. а) Якщо точка рівновіддалена від двох сторін трикутника і перпендикуляр, проведений через цю

точку до площини трикутника, перетинає третю сторону, то основа цього перпендикуляра належить бісектрисі кута, протилежної третій стороні. Доведіть це.

б) Якщо точка рівновіддалена від двох вершин трикутника і перпендикуляр, проведений через що точку до площини трикутника, проходить через третю вершину, то даний трикутник рівнобедрений. Доведіть це.

§ 2. Геометричні побудови

1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 186 — 213)

186. б)Дано, зображення тетраедра. Побудуйте:

1) лінію перетину площин AND і ВDC,;

2) точку перетику прямої КL. з площиною АВС.

a)Дано зображення паралелепіпеда ABCDA₁В_ІС₁D₁. Побудуйте:

1) лінію перетину площин В₁ВD і АВС;

2) точку перетику прямої МN з площиною АВС.

187. а)

а) Зробіть рисунок і побудуйте точку пере­тину прямої МN з площиною AВС, якщо пряма МN не паралельна до ребра АВ.

б) Зробіть рисунок і побудуйте точку пере­тину KF з площиною ADC.

188. а)Зробіть рисунок і побудуйте точку перетину прямої EF з площиноюABC.

б) Зробіть рисунок і побудуйте точку перетину прямої PQ з площиною ABC.