- •Затверджено Міністерством освіти України
- •1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі
- •А) жодної: б) одна; в) безліч; г) жодної або одна; д) одна або безліч.
- •Перетинаються;
- •16. А) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 37 — 118)
- •50. А) Три відрізки a1a2- в1в2, с1с2 не лежать в одній площині, перетинаються в точці о і цією
- •51. A) abcd — паралелограм, be і fd — перпендикуляри до площини abc. Доведіть, що площини
- •53. А) Відрізок вм перпендикулярний до площини прямокутника abcd. Доведіть, що пряма cd
- •108. А) Із точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі
- •109. А) Із точки, що знаходиться на відстані 24 см від площини, проведено до неї дві похилі, кут між
- •110. А) Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24 см. Належать двом перпендикулярним площинам.
- •111. А) Із кінців відрізка, що належать двом взаємно перпендикулярним площинам, до лінії перетину
- •112. А) Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані
- •113. А) Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну
- •115. А) Із точки до площини прямокутника зі сторонами 9 см і 12 см, проведено перпендикуляр,
- •116. А.) у прямокутній трапеції abcd бічні сторони — 24 см і 25 см. А більша діагональ bd є
- •117. А) Вершина с рівностороннього трикутника abc. Сторона якого 8 см. Віддалена від площини a
- •118. А) Через гіпотенузу ав прямокутного рівнобедреного трикутника abc проведено площину р під
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 119 — 185)
- •119. А) Пряма а паралельна до площини а. Через точки а і в прямої а проведено паралельні прямі,
- •121. А) Пряма не лежить у площині і паралельна до двох прямих цієї площини. Знайдіть відстань від
- •122. А) Точка лежить поза площиною прямого кута і знаходиться на відстані 8 см від кожної із сторін
- •123. А) Кінці відрізка довжиною 10 см лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах. Цей
- •124. А) Дві паралельні прямі ав і сd лежать у двох площинах, що перетинаються під кутом 60°.
- •125. А) Із точки м — середини бічної сторони ав рівнобедреної трапеції авсd до її площини
- •126. А) Площі двох рівнобедрених трикутників відповідно дорівнюють 15 см2 і 40 см2. Трикутники
- •127. А) На площині дано трапецію і точку поза нею, яка віддалена від кожної із сторін трапеції на
- •132. А) Із деякої точки простору до площини ромба, сторона якого дорівнює 5 см, а менша діагональ
- •133. А) Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см. Із середини більшої сторони прямокутника
- •134. А) Точка м знаходиться на відстані 3 см від кожної із вершин паралелограма, сторони якого
- •136. А} Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Деяка точка поза ромбом, віддалена від усіх його
- •137. А) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть найкоротшу відстань між діагоналлю куба і діагоналлю
- •138. А) Деяка точка рівновіддалена від сторін правильного трикутника на 49 см. Периметр трикутника
- •140. А) Всередині тригранного кута з прямими плоскими кутами взято точку. Знайдіть відстань від
- •142. А) Дві прямі належать двом перпендикулярним площинам, паралельні прямій перетину площин
- •152. А) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка простору рівновіддалена від
- •153. А} Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну із його
- •154. А) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього
- •155. А) у прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, ділить
- •156. А) Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого
- •157. А) Ортогональною проекцією чотирикутника, площа якого дорівнює 144 см2, є прямокутник,
- •173. А) Із точки d, що лежить на гіпотенузі ав прямокутного трикутника авс, проведено відрізок
- •179. А) у круг радіуса 8 см вписано прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює 30°. Із
- •180. А) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках а1, a2, a3; друга пряма — у
- •183. А) Із центра о квадрата abcd, діагональ якого дорівнює 16√2 см, проведено відрізок of
- •§ 2. Геометричні побудови
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 186 — 213)
- •189. А) Побудуйте лінію перетину площин abb1 і b1c1c в кубі abcda1b1c1d1.
- •190. A) Дано прямокутний паралелепіпед. Як розміщена пряма ab відносно грані dcc1d1?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 214 — 251)
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 252 — 265)
- •Розділ II. Координати і вектори в просторі
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 266 — 287)
- •274. А) Дано вектори а (4; -2; -4) та b(6; -3; 2). Обчисліть (a-b)2
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 288 — 327)
- •294 А) Дано куб авсdа1в1с1d1. Обчисліть кут між векторами вс1 і вк, де к— середина ребра dd1.
- •295 А) Мі n — середини ребер в1в і а1d1 куба авсdа1в1с1d1, ребро якого дорівнює 2а. Знайдіть
- •Розділ III. Многогранники §1. Призма
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 328 — 343)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 344 — 399)
- •350. А) у прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут а, а з площиною
- •372. А) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою, що дорівнює а і кутом при
- •373. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом
- •374. А) Основа прямої призми — ромб зі стороною а, кут між площинами двох бічних граней дорівнює
- •377. А) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Діагональ
- •394. А) Повна поверхня прямокутного паралелепіпеда, основою якого є квадрат, дорівнює 264 см2.
- •395. А) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 60 см2. Площа діагональних
- •396. А) Переріз прямокутного паралелепіпеда, проведеного через діагональ нижньої основи і кінець
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 400 — 417)
- •404. А) в основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми утворює з площиною основи
- •405. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині.
- •§ 2. Піраміда 1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 418 — 440)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 441 — 495)
- •449. А) у правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте повну поверхню
- •451. А) у правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут а. Визначте повну поверхню
- •452. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте бічну
- •455. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Відстань
- •471. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •474. А) в основі піраміди лежить ромб із стороною а і гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •475. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Бічна грань,
- •476. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом а. Бічна грань, що містить
- •478. А) Основою піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює s. Одна бічна грань піраміди
- •479. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а Бічна грань,
- •482. А) Основа піраміди — правильний трикутник із стороною а. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до основи,
- •484. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього
- •485. А) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Бічна грань, яка містить
- •486. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •487. А) Кожне бічне бічне ребро піраміди дорівнює 2√41 см. Основа піраміди — прямокутний
- •489. А) Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 дм, 20 дм, 21 дм. Обчисліть об'єм піраміди,
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 496 — 531)
- •512. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Дві бічні грані, що містять
- •513. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Дві бічні грані, що містять сторони гострого
- •515. А) в основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні суміжні грані піраміди перпендикулярні до основи,
- •516. А) в основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •519. А) в основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а. Всі бічні
- •520. О) в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція з бічною стороною с і гострим кутом a. Бічна
- •529. А.) Довжини сторін основ, і висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди відносяться як
- •9 : 6 : 2. Площа бічної поверхні — 3 дм2. Знайдіть, площу повної поверхні.
- •530. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з бічних граней — рівнобедрений
- •531. А) Правильна п'ятикутна піраміда sавсdе перетинається площиною, що проходить через вершини
- •Розділ IV. Тіла обертання
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 532 — 550)
- •2. Завдання підвищеного рівня ( №№ 551 — 59s )
- •556. А) у нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані т від центра нижньої
- •565. А) Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
- •567. А) Знайдіть найбільший об'єм циліндра, площа повної поверхні якого дорівнює 54п см2, якщо
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 599 — 614)
- •Завдання підвищеного рівня (№№ 615 — 637)
- •620. А) в основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною
- •622. А) Основа прямої призма — прямокутник зі стороною а і кутом ос, який утворює ця сторона з
- •Завдання поглибленого рівня (№№ 638 — 710)
- •643. А) у кулю радіуса r вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою
- •647. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагоналі
- •654. А) у циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, більша сторона основи якого дорівнює а.
- •658. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом а. Обчисліть
- •667. А) у кулю радіуса r вписано правильну трикутну піраміду з плоским кутом при вершині, що
- •671. А) у рівнобедреній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Бічна сторона дорівнює
- •673. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює ф. Знайдіть об'єм
- •676. А) в основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при вершині
- •680. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а, двогранні кути при основі ф. Знайдіть об'єм
- •689. А) Радіус основи конуса дорівнює r, а кут при вершині осьового перерізу — а. Знайдіть об'єм
- •693. A) у кулю, площа поверхні якої s, вписано конус. Кут між твірною конуса і площиною основи
- •701. А) у прямий круговий конус вписано кулю, радіус якої дорівнює 1 м. Знайдіть кут між твірною
- •704. А) Прямокутний трикутник з гострим кутом а і протилежним катетом а обертається навколо
- •706. А) Трикутник зі сторонами 12 см, 17 см і 15 см обертається навколо меншої сторони. Знайдіть
- •§1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі з
- •§ 2. Геометричні побудови 23
- •§1. Призма 38
152. А) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка простору рівновіддалена від
сторін цього ромба на 13 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини ромба.
б) Одна із діагоналей ромба дорівнює 40 см, а його площа — 600 см2. Відстань від деякої точки простору до площини ромба дорівнює 16 см. Відстані від даної точки до кожної сторони ромба однакові. Знайдіть цю відстань.
153. А} Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну із його
вершин, є рівно бедре ний трикутник з бічною стороною 3√13 см. Сторона правильного трикутника дорівнює 12 см. Обчисліть кут між площинами цих трикутників, якщо одна сторона трикутника паралельна площині проекції.
б) Основа рівнобедреного трикутника паралельна площині, а його ортогональна проекція на цю площину — рівносторонній трикутник. Обчисліть кут між площинами трикутників, якщо основа і бічна сторона рівнобедреного трикутника відповідно дорівнюють 12 см і 6√5 см.
154. А) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього
відрізка віддалені від прямої перетину цих площин на відстані 5 см і 9 см. Один кінець відрізка віддалений від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину площин, на 15 см. Знайдіть відстані вій другого кінця і середини відрізка до цієї прямої.
б) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці відрізка віддалені від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину цих площин, на 25 см і 26 см. Один кінець відрізка віддалений від прямої перетину площин на 7 см. Знайдіть відстані від другого кінця і середини відрізка до прямої перетину площин.
155. А) у прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, ділить
гіпотенузу на відрізки 9 см і 16 см. Точка простору віддалена від кожної сторони трикутника на 13 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки 20 см і 15 см. Відстань від деякої точки простору до площини трикутника дорівнює 24см. Відстані від цієї точки до кожної сторони трикутника однакові. Обчисліть їх.
156. А) Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого
дорівнює 15 см і катет 9 см. Кут між площинами цих трикутників дорівнює 30°. Знайдіть площу даного трикутника. Чи може даний трикутник бути правильним?
б) Ортогональною проекцією даного трикутника, площа якого дорівнює 36√3 см2, є прямокутний трикутник, катет якого 12 см, а медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 7,5 см. Обчисліть кут між площинами цих трикутників. Чи може даний трикутник бути правильним?
157. А) Ортогональною проекцією чотирикутника, площа якого дорівнює 144 см2, є прямокутник,
діагональ якого дорівнює √145 см, а одна із сторін — 8 см. Обчисліть кут між площинами прямокутника та даного чотирикутника. Чи може даний чотирикутник бути квадратом?
б) Ортогональною проекцією чотирикутника є прямокутник, сторони якого дорівнюють 16 см і 18 см. Кут між площинами даного чотирикутника і прямокутника дорівнює 60°. Знайдіть площу даного чотирикутника. Чи може він бути квадратом?
158. а) У рівнобічній трапеції основи відповідно; дорівнюють 8 см і 18 см. Деяка точка простору рівновіддалена від кожної сторони цієї трапеції на 10 см. Обчисліть відстань, від цієї точки до площини трапеції.
б) У прямокутній трапеції основи дорівнюють 10 ом і 15 см. Відстань від деякої точки простору до площини трапеції дорівнює 8 см. Відстані від цієї точки до кожної сторони трапеції однакові. Знайдіть ці відстані.
159. а) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого Кута, дорівнює
24 см і ділить гіпотенузу у відношенні 9:16. Відстань від точки простору до вершин трикутника дорівнює 65 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини цього трикутника.
б) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, дорівнює 24 см і ділить гіпотенузу на відрізки, різниця між якими — 14 см. Деяка точка простору знаходиться на відстані 60 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Знайдіть цю відстань.
160. а) Ортогональною проекцією трапеції, площа якої дорівнює 80 см2. є рівнобічна трапеція з основами 7 см і 13 см і бічною стороною 5 см. Обчисліть кут між площинами трапеції та її проекції.
б) Ортогональною проекцією трапеції є рівнобічна трапеція з основами 7 см і 25 см і діагоналями, що перпендикулярні до бічних сторін. Кут між площинами цих трапецій дорівнює 60°. Обчисліть площу даної трапеції.
161. а) Із деякої точки простору до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 32 см, 40 см і
48 см, проведено перпендикуляр, довжина якого 18 см. Основа перпендикуляра належить стороні трикутника, що дорівнює 40 см, а дві інші сторони рівновіддалені від даної точки. Обчисліть відстань від даної точки до інших сторін трикутника. б) Із деякої точки простору до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 15 см, 21 см і 24 см, проведено перпендикуляр. Основа цього перпендикуляра належить стороні, що дорівнює 24 см, а дві інші сторони рівновіддалені від даної точки на 10 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини трикутника.
162. а) Діагональ квадрата дорівнює 10√2 см. Деяка точка простору рівновіддалена від кожної сторони
квадрата на 13 см. Обчисліть відстань від даної точки до площини цього квадрата.
б) Площа квадрата дорівнює 100 см2. Відстань від деякої точки простору до площини квадрата дорівнює 12 см. Відстані від даної точки до кожної сторони квадрата однакові. Знайдіть цю відстань.
163. а) Відрізки двох прямих лежать між двома паралельними площинами і відповідно дорівнюють
30 см і 26 см, а їх проекції на одну із цих площин відносяться як 9 : 5. Знайдіть відстань між цими площинами.
б) Відрізки двох прямих лежать між паралельними площинами і відносяться як 15 : 13, а їх проекції на одну із цих площин відповідно дорівнюють 18 см і 10 см. Обчисліть відстань між площинами.
164. а) Ортогональною проекцією даного трикутника є трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см.
Кут між площинами цих трикутників дорівнює 60°. Знайдіть площу даного трикутника. Чи може він бути правильним?
б) Ортогональною проекцією даного трикутника, площа якого дорівнює 48√3 см2, є трикутник зі сторонами 14 см, 16 см і 6 см. Обчисліть кут між площинами цих трикутників. Чи може даний трикутник бути правильним?
165. а) Із деякої точки простору до площини правильного трикутника, площа якого дорівнює 108√3 см2;
проведено перпендикуляр, основа якого належить одній із сторін трикутника, а дві інші сторони однаково віддалені від даної точки. Обчисліть ці відстані, якщо відстань від точки до площини трикутника дорівнює 12 см.
б) Із деякої точки простору до площини правильного трикутника, площа якого 192√3 см2, проведено перпендикуляр, основа якого лежить на одній із сторін трикутника. Відстань від цієї точки до двох інших сторін даного трикутника дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини трикутника.
166. а) У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 48 см, а бічна сторона — 40 см. Відрізки, що
сполучають точку простору з вершинами цього трикутника, дорівнюють 65 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) У рівнобедреному трикутнику основа і висота, проведена до основи, відповідно дорівнюють 48 см і 32 см. Дана точка простору лежить на відстані 60 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Знайдіть цю відстань.
167. а) Із деякої точки до площини рівнобедреного трикутника, основа якого 30 см, а площа —
300 см2, проведено перпендикуляр довжиною 5 см. Основа перпендикуляра належить основі трикутника, а бічні сторони його рівновіддалені від цієї точки. Обчисліть ці відстані.
б) Із деякої точки до площини рівнобедреного трикутника, площа якого 300 см2, проведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра лежить на основі трикутника. Відстані відданої точки до бічних сторін трикутника дорівнюють 13 см. Обчисліть відстань від точки до площини трикутника, якщо висота трикутника, проведена до основи, дорівнює 20 см.
168. а) У рівнобедреному трикутнику бічна сторона відноситься до основи як 5 : 6. Через вершини
трикутника і центр вписаного кола проведено паралельні прямі, що перетинають деяку площину, яка з трикутником немає спільних точок. Довжини відрізків від кінців основи трикутника до площини дорівнюють 52 см і 14 см, а від третьої вершини — 25 см. Знайдіть довжину відрізка від центра вписаного кола до цієї площини.
б) У рівнобедреному трикутнику бічна сторона відноситься до основи як 7 : 6. Дано площину, що не перетинає цей трикутник. Через вершини трикутника і центр вписаного в нього кола проведено паралельні прямі, що перетинають площину. Знайдіть довжину відрізка від третьої вершини до площини, коли довжини відрізків від вершин основи трикутника до площини дорівнюють 40 см і 24 см, а від центра вписаного кола — 38 см.
169. а) Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких 25 см і 30 см. Різниця проекцій цих
похилих на площину дорівнює 11 см. Обчисліть відстань від даної точки до площини.
б) Із точки до площини проведено дві похилі, різниця між якими дорівнює 5 см. Проекції цих похилих на площину відповідно дорівнюють 18 см і 7 см. Обчисліть відстань відданої точки до площини.
170. а) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 1200 см2, а його основа — 60 см. Точка простору
віддалена від кожної сторони трикутника на 39 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 1200 см2, а його висота, проведена до основи, дорівнює 40 см. Відстань від деякої точки простору до площини трикутника дорівнює 36 см, а відстані від цієї точки до сторін трикутника однакові. Обчисліть цю відстань.
171. а) Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу, а їх площини утворюють між собою кут
60°. Спільна їх основа дорівнює 16 см. Бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см, а бічні сторони другого — взаємно перпендикулярні. Обчисліть відстань між вершинами трикутників.
б) Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу, що дорівнює 16 см. Відстань між вершинами цих трикутників — 13 см. Бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см. Другий трикутник — прямокутний. Обчисліть кут між площинами цих трикутників.
172. а) Із точки простору до площини прямокутної трапеції, більша основа якої дорівнює 24 см, а
більша бічна сторона — 25 см, проведено перпендикуляр, довжина якого 7√15 см. Основа перпендикуляра — вершина тупого кута трапеції, більша діагональ якої є бісектрисою прямого кута. Обчисліть відстань від даної точки до вершини другого прямого кута.
б) Із точки простору до площини прямокутної трапеції, менша основа якої 20 см, а бічна сторона — 25 см, проведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра — вершина гострого кута трапеції, менша діагональ якої є бісектрисою прямого кута. Відстань від даної точки до вершини другого прямого кута дорівнює 45 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини трапеції.