Доказательство

Из вершин треугольника проведем прямые, параллельные друг другу до пересечения с секущей прямой. Образуется три пары подобных треугольника. Из подобия треугольников получаем:

перемножим полученные пропорции, получим

. Доказательство закончено.

Обратная теорема.

Точки A₁, B₁, C₁ принадлежат прямым BC, CA, AB, соответственно, т.е. лежат на сторонах треугольника ABC, или их продолжениях ABC, при этом

, тогда точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.

Доказательство

Предположим, что точка С₁ не лежит на прямой B₁C₁ , пусть C^* - точка пересечения прямых A₁B₁ и AB. Тогда, согласно прямой теореме Менелая, , а по условию , откуда и следовательно, точка С₁ совпадает с точкой C^* . Получили точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой. Доказательство закончено.

Прямая и обратная теоремы могут быть объединены в одну:

Пусть точки A₁, B₁, C₁ расположены на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC или на их продолжениях соответственно. Для того, чтобы точки A₁, B₁, C₁ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы .

9.1*. a)Отрезок стороны треугольника ABC от вершины A до точки касания вписанной окружности со стороной AC равен p- a, где p – полупериметр треугольника ABC, a – сторона треугольника. АК = p-a.

Дано: ∆ ABC, K – точка касания вписанной в треугольник окружности со стороной AB.

Доказать: АК = p-a.

Доказательство

Пусть точки M и N – точки касания окружности со сторонами AC и CB соответственно.

По свойству 15.10 AK = AM, BK= BN, CM= CN. Тогда 2 AK = AB + ВС + AC – 2BN- 2 CN = P_ABC – 2 BC,

АК = p-a, что и требовалось доказать.

b) Отрезок стороны AC треугольника ABC от вершины A до точки касания вневписанной окружности равен p- с, где p – полупериметр треугольника ABC, с – сторона треугольника. АК = p-с.

Д ано: ∆ ABC, K – точка касания вневписанной в треугольник окружности со стороной AС.

Доказать: АК = p-с.

Доказательство

Пусть точки M и N – точки касания окружности с продолжением сторон AB и CB соответственно.

По свойству 15.10 AK = AM, по свойству 9.2 B M = ½ P _ABC , тогда

AK = AM = BM- AB = ½ P _ABC – AB = p- c, что и требовалось доказать.

9.2.* Периметр треугольника, отсекаемого от данного, касательной к вписанной в треугольник окружности, равен удвоенному отрезку стороны от вершины треугольника до точки касания,

P_AMN = 2AK.

Дано: ∆ ABC, K – точка касания вписанной в треугольник окружности со стороной AB.

MN – касательная к окружности

Доказать: P_AMN = 2AK.

Доказательство

Пусть точка P точка касания окружности со стороной MN, L – точка касания вписанной в треугольник окружности со стороной AC.

По свойству 15.10 AK = AL, MP= MK, PN= NL тогда P_MNA = AM + MP + PN + AL = AM + MK + LN + AL=

= AK+ AL = 2 AK, что и требовалось доказать.

9. 3*. Сумма обратных величин высот треугольника равна обратной величине радиуса вписанного круга:

Доказательство

Из формул 20.3 и 20.6 выразим величины, обратные высотам и радиусу вписанной окружности, получим

, где P = a +b+ c . Сложим первые два равенства, получим . Заменим праву часть равенства на 1/r, получим .Доказательство закончено.

9. 4**.Площадь треугольника, вершинами которого служат точки касания вписанного круга, равна .

9.5**.Расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до точки пересечения медиан треугольника равно

9.6**.Расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно

9.7.**Расстояние между центрами вписанной и описанной окружности равно d =

Дано: Точка O – центр описанной окружности около треугольника ABC.

OC= R, S – центр вписанной в треугольник ABC , r – центр вписанной окружности.

Доказать: SO =

Доказательство

Продолжим отрезок SO до пересечения с окружностью в точках N и K. По свойству 16.9

будем иметь BS·SM = ( R- SO) (R + SO) . Заметим, что треугольник ASM – равнобедренный ( SM = AM). По теореме синусов для треугольника ABM выразим через R и угол ABM: AM = 2R sin <ABM. Из прямоугольного треугольника BSL выразим сторону BS. BS = r / sin <ABM. Тогда BS·SM = 2Rr, SO = , что и требовалось доказать.

9.8**.Во всяком треугольнике сумма расстояний от центра описанного круга до сторон треугольника равна сумме радиусов вписанного и описанного кругов (теорема Карно).

Д ано: ∆ ABC, O– центр описанной окружности около треугольника ABC,

Доказать: OM+ ON+OP = R + r.

Доказательство

10. 6*.Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Дано: ABCD – параллелограмм.

Доказать: AC² +DB² = 2(AD² + DC² )

Доказательство

Для выражения длины диагоналей применим теорему косинусов:

AC² = AD² + DC² - 2AD·DC cos<ADC (1), BD² = AD² + AB² - 2AD·AB cos<DAB

Так как <DAB+ <ADC = 180º, то cos<ADC = - cos<DAB, поэтому BD² = AD² + AB² + 2AD·AB cos<ADC (2).

Сложим почленно равенства (1) и (2), получим AC² +DB² = 2AD² + DC² + AB² . Так как DC = AB, то

AC² +DB² = 2AD² + 2DC² , что и требовалось доказать.

10.9.* Угол между прямыми, содержащими высоты параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Так как высоты параллелограмма соответственно перпендикулярны сторонам параллелограмма, то по свойству 1. 4

угол между прямыми, содержащими высоты параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

11.7*. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Дано: ABCD – ромб, точки M, N, K, F- середины сторон AB, BC, CD, AD - соответственно.

\

Доказать: четырехугольник MNKF – прямоугольник.

Доказательство

Отрезки MN и FK – равны и параллельны, так как являются средними линиями треугольников ABC и ADC соответственно (свойство 7.8). Тогда четырехугольник MNFK - параллелограмм (10.10.3).

Угол NMF равен углу между диагоналями ромба (1.3), а поскольку угол между диагоналями ромба прямой, то угол NMF равен 90º, т.е. четырехугольник MNKF – прямоугольник, что и требовалось доказать.

12.3**. Суммы квадратов расстояний от некоторой точки плоскости прямоугольника до двух его противоположных вершин равны.

Д ано: ABCD – прямоугольник.

Доказать: MD² +MB² = MA² + MC²

Доказательство

Отложим на прямой MO отрезок ON = OM. Тогда четырехугольник AMCD – параллелограмм, по свойству 10.6 AC² +NM² = 2(AM² + MC²),

DB² + MN² =2(DM² + MB² ). Так как DB = AC, то DM² + MB² = AM² + MC², что и требовалось доказать.

12.5*.Отрезки от вершины прямоугольника до середины противолежащей стороны делят пересекающую их во внутренних точках диагональ прямоугольника на три равные части.

Д ано: ABCD – прямоугольник. Точки M и N – середины сторон DC и AB

соответственно.

Доказать: DK = KL = LB.

Доказательство

Покажем, что прямые AM и CN параллельны. MC= ½ DC = AN, MC ||AN, тогда по свойству 10.6 четырехугольник AMCN – параллелограмм и, следовательно, AM ||CN.

По теореме Фалеса для угла CDB и параллельных прямых KM и LC отрезок DK равен отрезку KL. Аналогично предыдущему для угла DBA и прямых AM и NC отрезки BL и KL равны. Тогда все отрезки DK, KL и LB равны между собой. Доказательство закончено.