9. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является функцией от этого верхнего предела:

Теорема: производная от интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.

Доказательство: возьмем любое значение х  и дадим ему приращениех  0 такое, чтобы х . Тогда функция Ф(х) получит новое значение:

Согласно свойству №2 определенных интегралов имеем

Отсюда находим приращение функции Ф(х):

Применим теперь интегральную теорему о среднем. Получим:

Ф(х + х) – Ф(х) = f(c)x,

где с – число, заключенное между х и х + х. Разделим обе части равенства на х:

Если теперь х  0, то с  х, и тогда, в силу непрерывности функции f(x) на ,f(c)  f(x). Поэтому, переходя к пределу при х  0, получаем:

Таким образом любая непрерывная на отрезке функция f(x) имеет на этом отрезке первообразные, причем функция Ф(х) – интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для f(x). А так как всякая другая первообразная для функции f(x) может отличаться от Ф(х) только на постоянную, то установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в виде

Формула Ньютона-Лейбница. Таким образом, функция, непрерывная на отрезке , имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из них является функция

Пусть F(x) – любая другая первообразная для функции f(x) на том же отрезке . Так как первообразные Ф(х) иF(х) отличаются на постоянную, то имеет место равенство

где С – некоторое число. Подставляем в эту формулу значение x = a, получаем

т.е. для любого х 

Полагая x = b, получаем формулу Ньютона-Лейбница:

10. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Замена переменной в определенном интеграле. Теорема: пусть f(x) – непрерывная функция на отрезке , функция х =(t) непрерывно дифференцируема на ,() = а и () = b. Тогда справедлива формула

Доказательство: По формуле Ньютона-Лейбница

где F(x) – какая-нибудь первообразная для функции f(x) на . Рассмотрим на отрезкесложную функцию от переменнойt: Ф(t) = F((t)). Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим:

Ф(t) = F((t))(t) = f((t))(t).

Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f((t))(t), непрерывной на . Поэтому, согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем:

Интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема: если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула

Доказательство: так как функция u(x)v(x) является первообразной для функции (u(x)v(x)) = u(x)v(x) + v(x)u(x), то по формуле Ньютона-Лейбница

Используем теперь свойство интеграла суммы. Получим:

или, что то же самое,

М.К.