6. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование путем замены переменной и интегрирование по частям.

Первообразная. Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке. Любая функция имеет бесчисленное множество первообразных.

Теорема: две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство: пусть F₁(x) = f(x) и F₂(x) = f(x). Таким образом F₁(x) = F₂(x). Рассмотрим производную разности

(F₁(x) – F₂(x)) = F₁(x) - F₂(x) = 0.

Производная разности двух функций равна нулю, следовательно, эти функции отличаются друг от друга на константу, ч. т. д.

Неопределенный интеграл. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx. Неопределенный интеграл обоначается

.

Интеграл является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению. Таким образом, можно записать:

.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (следует из определения).

2. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывной дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

3. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Af(x)dx = A(F(x)+C) = AF(x) + C₁.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме интегралов этих функций:

f(x)dx + g(x)dx = (F(x) + C₁) + (G(x) + C₂) = (F(x) + G(x)) + C.

5. Неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента.

Доказательство: положим u = (x), где (х) – некоторая непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим интеграл:

f(u)du = f(u)udx. (1)

В таком случае сложная функция F(u) = F((x)) является первообразной для подынтегральной функции интеграла (1). Действительно, в силу независимости дифференциала первого порядка от выбора переменной, получаем:

dF(u) = F(u)du = f(u)du.

И, следовательно,

.

Поэтому

f(u)du = F(u) + C,

где F(u) = f(u), ч. т. д.

Интегрирование путем замены переменной. Пусть f(x) непрерывна на интервале (а,b) и x = (t) непрерывно дифференцируема на интервале (,), причем функция  отображает интервал (,) в интервал (a,b).

На основании свойства независимости неопределенного интеграла от выбора аргумента, и учитывая, что dx = (t)dt, получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле:

f(x)dx = f((t))(t)dt.

Интегрирование по частям. Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x. На основании формулы дифференциала произведения имеем:

d(uv) = udv + vdu;

udv = d(uv) – v(du).

Интегрируем последнее выражение. Получаем:

udv = d(uv) - vdu;

udv = uv - vdu.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.