2. Признак Даламбера сходимости знакоположительного ряда

Пусть дан знакоположительный ряд и существует. Тогда, еслиq < 1, то ряд сходится; если q > 1, то ряд расходится.

Доказательство: 1) пусть q < 1, докажем, что ряд сходится. Поскольку существует предел , можно записатьилиa_n (q - ) < a_n+1 < a_n (q + ). Выберем  таким образом, чтобы q +  < 1. Из полученного двойного неравенства и неравенства q +  < 1 следует, что

a_N+2 < (q + ) a_N+1;

a_N+3 < (q + ) a_N+2 < (q + )² a_N+1;

a_N+4 < (q + ) a_N+3 < (q + )₃ a_N+2 < (q + )³ a_N+1.

Итак, члены ряда a_N+2 + a_N+3 + a_N+4 +… меньше соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии a_N+1 (q + ) + a_N+2 (q + )² + a_N+3 (q + )³ +… Знаменатель прогрессии меньше единицы, поэтому прогрессия представляет собой сходящийся ряд (см. №1). По признаку сравнения, ряд также является сходящимся.

2) Пусть теперь q > 1. Возьмем такое число , что q -  будет также больше единицы. Тогда для достаточно больших n, на основании выведенного в пункте 1) данного доказательства двойного неравенства, мы будем иметь

Отсюда a_N < a_N+1 < a_N+2. Следовательно члены ряда возрастают при увеличении их номера, не выполняется необходимый признак сходимости. Поэтому рядрасходится. Теорема полностью доказана.

Если q = 1, то нельзя определить характер сходимости ряда. Например, ряд сходится, а рядрасходится.

3. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах

Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся ряд – ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Признак сходимости Лейбница: если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают при возрастании их номера и n-й член ряда при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.

,

то этот ряд сходится.

Доказательство: возьмем сумму S_2m первых членов ряда и запишем ее следующим образом:

S_2m = (a₁ – a₂) + (a₃ + a₄) +…+ (a_2m-1 + a_2m).

Так как разности, стоящие в скобках, на основании условия монотонности убывания абсолютных величин членов ряда, положительны, то

S_2m  0.

Если 2m возрастает, то S_2m не убывает, т.к. каждый раз прибавляются положительные или равные нулю слагаемые.

С другой стороны ту же сумму можно представить в виде:

S_2m = a₁ – (a₂ – a₃) – (a₄ – a₅) -…- (a_2m-2 – a_2m-1) – a_2m.

В скобках стоят положительные числа, поэтому

S_2m a₁.

Следовательно, S_2m, будучи монотонно возрастающей (точнее, не убывающей) и ограниченной последовательностью, имеет при m   конечный предел S:

.

Но очевидно, что

S_2m+1 = S_2m + а_2m+1.

На основании условия о стремлении n-го члена к нулю, имеем также

.

Таким образом, получаем

.

Мы получили, что при неограниченном возрастании n частные суммы S_n стремятся к одному и тому же пределу S, независимо от того, будет ли n четное или нечетное. Поэтому ряд сходится.

Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах. Ряд, состоящий из членов разных знаков, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема: если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный их абсолютных величин его членов, то данный ряд также сходится.

Доказательство: рассмотрим вспомогательный ряд

Так как 1) 0 и 2) рядв силу заданной по условию сходимости рядатакже сходится, то на основании признака сравнения и рассматриваемый вспомогательный ряд сходится. Поэтому наш рядпредставляет собой разность двух сходящихся рядов

=

и, следовательно, сходится, ч. т. д. Обратное утверждение не верно.