Метод последовательных приближений (итераций)
Сущность метода. Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением
х = (х) (2)
Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение х3 - 9х + 3 = 0 можно представить так:
Пусть
известен отрезок изоляции корня [a; b],
тогда за начальное приближение искомого
корня уравнения (2) берут:
Подставляя
значение х0
в правую часть уравнения (2), получают
первое приближение х1
= (х0).
В качестве второго приближения берут
х2
= (х1).
Продолжая этот процесс дальше, получают
числовую последовательность (хn),
определенную с помощью рекуррентной
формулы:
xn+1 = (xn), (n = 0, 1, 2, ...) (3)
Полученная последовательность х0, х1, ..., xn, xn+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.
При
пользовании методом итераций необходимо
выяснить основной вопрос: сходится ли
полученная последовательность (хn)
к решению х*
уравнения (2) при возрастании n? Если
последовательность (хn)
сходится, то есть существует предел х*
=
то, переходя к пределу в равенстве (3) и,
предполагая, что функция (х)
непрерывна, получаем:
или x*
= (x*).
Следовательно, в этом случае х = х* является корнем уравнения х = (х), а значит, и уравнения F(x) = 0.
Если же последовательность (хn) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела построенной последовательности приближений (хn), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.
Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия: ‘(x) M1 < 1
для всех х, принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (2), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М1; если же ‘(x) > 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величины m1, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М1 = max‘(x), где max берется по отрезку изоляции корня [а: b].
Задание на работу
В соответствии с вариантом задания (см. Приложение), полученным у преподавателя (вид функции в виде f(x)=0), необходимо:
1. Изучить численные основные методы определения корней уравнений (половинного деления, касательных, хорд, хорд и касательных).
2. Получить интервал локализации корня уравнения, используя :
а) аналитический метод;
б) метод табуляции.
3. Составить блок-схему и программу, которая позволит:
а) уточнить корень методом половинного деления (для всех номеров);
б) уточнить корень методом касательных (для нечетных номеров);
в) уточнить корень методом хорд (для четных номеров);
г) уточнить корень методом итераций.
После определения корней необходимо подставить значение корня для проверки правильности решения.
Результаты вывести в виде, удобном для восприятия.
Содержание отчета: титульный лист, тема и цель работы, № варианта задания и собственно задание, описание типов функциональных рядов по методам вычислений, определение типа заданного ряда, математическая постановка задачи и определение области допустимых значений (ОДЗ), блок-схема алгоритма, текст программы и результаты её работы. Работу программы студент обязан показать на ПЭВМ.