Алгоритм уточнения корня методом хорд

Сущность метода. Пусть отрезок изоляции [a; b] корня х уравнения F(х) = 0 найден, причем для определенности пусть F(a) < 0, F(b) > 0 и F'(х) > 0. График функции y = F(х) проходит через точки A(a; F(a)) и B(b; F(b)) (рис. 1). Составим уравнение хорды АВ как прямой, проходящей через точки А и В:

y = kx + l;

F(a) = ka + l;

F(b) = kb + l;

k = ; l = F(a) - a

y=

y - F(a) = (x - a).

Рис. 1 – Графическое представление метода хорд

далее находим абсциссу x₁ точки пересечения хорды АВ с осью Ох, уравнение которой y = 0:

= x₁ - a  x₁ = a - .

Число x₁ примем за первое приближение корня х*. Далее, применяя этот же прием к отрезку изоляции [x₁; b], на концах которого функция F(x) принимает противоположные знаки, получим второе приближение корня x₂:

x₂ = x₁ -

Этот процесс можно продолжать неограниченно. Описанный процесс называется методом хорд. В результате получим последовательность вложенных отрезков[a; b]  [x₁; b]  [x₂; b]  ...  [x_n; b]  ...с неподвижным концом b. Последовательные приближения x_n (n = 1, 2, ...) к точному значению корня х* вычисляются по формуле

(1)

называемой формулой метода хорд, и образуют монотонно возрастающую последовательность a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n < x_n+1 < ... < b, ограниченную сверху числом b. По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел

x_n = *.

Поскольку F(х) непрерывна на [а; b], то F(x_n) = F( ^*).

Переходя теперь к пределу в равенстве (1), получаем

^* = ^* -

откуда, так как b - , следует, что F( ) = 0. Но в связи с тем, что уравнение F(x) = 0 на отрезке [а; b] имеет единственный корень х*, то х* = х*.

Поскольку полученная последовательность (х„) сходится к корню уравнения х*, то любой ее член можно рассматривать в качестве приближенного значения корня. Практически последовательные приближения вычисляют до тех пор, пока не получат приближенное значение корня с требуемой точностью.

Алгоритм уточнения корня методом касательных

Сущность метода. Пусть [а; b] — отрезок изоляции корня х* уравнения F(х) = 0. И пусть для определенности F(a)<0, F(b)>0, F‘(x)>0 и F”(x)>0, x[а; b], то есть производные сохраняют постоянный знак (рис.2). Идея метода касательных, предложенного Ньютоном, сводится к замене небольшой дуги кривой у = F(х) касательной к кривой, проведенной в некоторой точке интервала [а; b]. Выберем, например, x₀ = b, так как F(x₀)  F(x₀)>0, и в точке В(x₀, F(х₀)) проведем касательную к кривой у = F(х). Ее уравнение: y - F(x₀) = F(x₀)(x - x₀).'

Найдем теперь точку пересечения x1 касательной с осью Ох (у = 0):

0 - F(x₀) = F(x₀)(x₁ - x₀)  x₁ = x₀ -

Рис. 2 – Графическое представление метода касательных

Эту точку x₁ принимаем за первое приближение искомого корня х*. Через точку С(x₁; F(x₁)) снова проведем касательную y - F(x₁) = F‘(x₁)(x - x₁), абсциссу точки пересечения которой с осью Ох примем за второе приближение х₂ корня х*.

Имеем: 0 - F(x₁) = F‘(x₁)(x₂ - x₁)  x₂ = x₁ -

Продолжая этот процесс далее, получим рекуррентную формулу,

называемую формулой метода касательных.

Заметим, что если в рассматриваемом случае (F’(x) > О, F”(x) > О, F(b) > 0, F(а) < 0) касательную провести в точке А, то есть положить x₀ = а, то точка пересечения ее с осью абсцисс может оказаться вне отрезка изоляции корня [a; b]. Это значит, что метод касательных неприменим, если в качестве начальной точки x₀ выбрать такую, в которой F(x₀)  F”(x₀) < 0.

Как и в методе хорд, можно доказать (предлагаем читателю сделать это самостоятельно), что полученная числовая последовательность

x₀>x₁>x₂>...>x_n>x_n+1>...>a

сходится к корню уравнения х*.

Для оценки погрешности приближения x_n можно воспользоваться, как и в методе хорд, формулой

x* - x_n  x_n - x_n-1  .

Анализируя возможные расположения кривой у = F(х) на отрезке изоляции, где последовательные приближения по методу касательных обозначены (i = 0,1,2...), получаем правило для использования метода касательных: в качестве начального приближения x₀ выбирается тот конец отрезка изоляции (x₀ = а или x₀ = b), в котором выполняется условие

F(x₀) F(x₀) > 0